充分統(tǒng)計量_完備統(tǒng)計量_指數(shù)分布族

1、103充分統(tǒng)計量與完備性(補充)教學(xué)輔導(dǎo)一、【內(nèi)容提要】1充分統(tǒng)計量（充分統(tǒng)計量（sufficientstatistic）1）定義）定義5.5.1：設(shè)12nXXX?是來自某個總體的樣本，總體分布函數(shù)為()Fx?，統(tǒng)計量12()nTTXXX??稱為?的充分統(tǒng)計量，如果在給定T的取值后，12nXXX?的條件與?無關(guān).2）定理）定理5.5.1（因子分解定理（因子分解定理FactizationTheem）：）：設(shè)總體概率函數(shù)為()fx?，12n

2、XXX?為樣本，則12()nTTXXX??為充分統(tǒng)計量得充分必要條件充分必要條件是：存在兩個函數(shù)()gt?和12()nhXXX?使得對任意的?和任意組觀測值12nXXX?，有12()nfXXX???1212(())()nngTXXXhXXX???，其中是通過統(tǒng)計量的取值而依賴于樣本的.證明：證明：一般性結(jié)果的證明超出本課程范圍，此處我們將給出離散型隨機變量下的證明，此時，????111.nnnfxxPXxXx???????先證必要性先證

3、必要性.設(shè)T使充分統(tǒng)計量則在Tt?下??11nnPXxXxTt????與?無關(guān)記為??1nhxx?或??hX令??????:AtXTXt??當??xAt?時有????11nnTtXxXx?????故????????????1111111nnnnnnnPXxXxPXxXxTtPXxXxTtPTthxxgt????????????????????其中????gtPTt????而????11nnhXPXxXxTt?????與?無關(guān)必要性得證.

4、對充分性對充分性由于????????????????????111111:1:nnnnnnxxTxxtnxxTxxtPTtPXxXxgthxx??????????????????對任給??1nXxx??和t滿足??XAt?有即不包含關(guān)于參數(shù)的信息3??????????????????????????????????????????????uAtuAtuAtuAtPXxTXtPXxTXtPTXtgTxhxPXxfxPTtfugTuhugt

5、hxhxgthuhu???????????????????????????????????????????它與參數(shù)?無關(guān).又若????xAtTxt??則??????????0.PXxTXtPXxTXtPTXtPPTt??????????????????????????也與?無關(guān).因此條件分布??????.fxtfxtTX????與無關(guān)即是的充分統(tǒng)計量必要性必要性設(shè)??TX是?的充分統(tǒng)計量由充分統(tǒng)計量的定義??PXxTXt???????與

6、參數(shù)?無關(guān)它是x的函數(shù)記為??.hx于是對任意固定的t當??xAt?時??Txt?成立這時????????????????????????TxPXxPXxTXtPTXtPXxTXtPTXthxgthxgTxhx?????????????????????????????????????式中????.gtPTXt????????因而（1.1）成立.由因子分解定理若樣本的密度函數(shù)??fx?能分解成兩個因子的乘積其中一個為??TX的函數(shù)而另一個