拉普拉斯矩陣和蘊(yùn)含冪零符號(hào)模式.pdf

1、自上世紀(jì)60年代以來，圖的特征值得到廣泛研究。早期的大部分工作集中在圖的鄰接矩陣的譜上。在80年代，圖論的新的發(fā)展使得人們清晰地認(rèn)識(shí)到，Laplace矩陣的特征值和特征向量比較鄰接矩陣能夠更自然地進(jìn)入應(yīng)用理論領(lǐng)域。譜方法在組合、圖論和組合最優(yōu)化方面早已有長(zhǎng)期的應(yīng)用歷史。圖的Laplace矩陣與二階微分算子Laplacian之間的緊密聯(lián)系使得在黎曼流形的譜幾何與圖論之間建立了一個(gè)重要的雙向聯(lián)系．符號(hào)模式矩陣是組合矩陣論中非?；钴S的一個(gè)課題

2、，其在經(jīng)濟(jì)學(xué)社會(huì)學(xué)等學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用背景． 本文的主要目的是研究簡(jiǎn)單圖和帶號(hào)圖上的標(biāo)準(zhǔn)Laplace矩陣和規(guī)范化的Laplace矩陣的譜性質(zhì)，同時(shí)，我們對(duì)定性矩陣?yán)碚撝械奶N(yùn)含冪零的符號(hào)模式也進(jìn)行了一些探索．我們的研究做出了一種嘗試，即將在Laplace矩陣上很多好的性質(zhì)和結(jié)論推廣到了規(guī)范化Laplace矩陣這一在理論和應(yīng)用方面都很重要的較新的課題上。 本文的具體安排如下： 在第一章中，我們先簡(jiǎn)要的介紹了圖和矩陣

3、的一些基本概念和理論，對(duì)Laplace矩陣的起源與主要研究?jī)?nèi)容及其研究現(xiàn)狀作了一個(gè)大概的綜述．在這一章的最后，列出了本文所得到的主要結(jié)論． 在第二章中，我們先介紹了帶號(hào)圖和混合圖一些基本概念和背景知識(shí)，指出了帶號(hào)圖和混合圖上Laplace矩陣的本質(zhì)的一致性，列出了在帶號(hào)圖與混合圖上Laplace矩陣譜半徑的界的估計(jì)的研究結(jié)果。本章的主要內(nèi)容是利用Brauer定理給出了在帶號(hào)圖上的Laplace矩陣的譜半徑的一個(gè)上界估計(jì)．

4、 在第三章中，我們致力于對(duì)規(guī)范化Laplacian的研究．我們首先給出了規(guī)范化Lapla-cian的一系列的重要性質(zhì)，其中有圖的導(dǎo)出子圖的連通性和規(guī)范化Laplacian的調(diào)和特征函數(shù)之間的關(guān)系，圖在割點(diǎn)的分支與調(diào)和特征函數(shù)之間的關(guān)系．然后證明了在連通圖上，規(guī)范化Laplacian的次小特征值在圖的移接變換下不增的事實(shí)，并且給出了一個(gè)嚴(yán)格遞減的條件．在本章的最后一節(jié)，我們研究了帶號(hào)圖上規(guī)范化Laplacian的一些相應(yīng)性質(zhì)，得到了帶號(hào)圖

5、和它的基礎(chǔ)圖之間特征值的一個(gè)插值定理，并將其與Horn和Jobnson的一般性結(jié)論相比較，表明我們的結(jié)論是更好的．在本章，關(guān)于帶號(hào)圖的一個(gè)新的概念被首次引入，利用這個(gè)關(guān)鍵性的概念我們改進(jìn)了Horn和Johnson的結(jié)果． 在第四章中，首先我們對(duì)當(dāng)前在符號(hào)模式矩陣譜任意以及蘊(yùn)含冪零的研究方面給出了簡(jiǎn)要綜述，列出了大部分的研究成果．本章主要研究了蘊(yùn)含冪零的符號(hào)模式，給出了5階和7階的雙星符號(hào)模式蘊(yùn)含冪零的完全形式，一些特殊形式的雙星