圖的距離拉普拉斯和距離無符號(hào)拉普拉斯特征值的若干結(jié)果.pdf

1、圖譜理論是代數(shù)圖論和組合矩陣論中一個(gè)重要的研究領(lǐng)域,在近幾十年中發(fā)展迅速,并得到廣大研究者的關(guān)注和青睞.其中,對(duì)圖的各類矩陣和特征值的研究是圖譜理論的主要研究內(nèi)容和對(duì)象.作為圖的拉普拉斯矩陣和無符號(hào)拉普拉斯矩陣的推廣,圖的距離拉普拉斯矩陣和距離無符號(hào)拉普拉斯矩陣在2013年被M. Aouchche和P. Hansen正式提出.圖的距離拉普拉斯矩陣和距離無符號(hào)拉普拉斯矩陣的定義分別為:L(G)=diag(Tr)?D(G)和Q(G)=dia

2、g(T r)+D(G).其中，diag(T r)表示一個(gè)對(duì)角陣,對(duì)角元為某一點(diǎn)到其他所有點(diǎn)的距離和;D(G)表示圖的距離矩陣。
　　本文主要證明了由M.Aouchche和P. Hansen提出的5個(gè)關(guān)于圖的距離拉普拉斯特征值和距離無符號(hào)拉普拉斯特征值的猜想,如下所示：猜想1.令T為一個(gè)樹，其階數(shù)n≥5，則其第二大距離拉普拉斯特征值滿足?2(G)≥2n?1當(dāng)且僅當(dāng)圖G為星圖Sn時(shí)取等號(hào)。猜想2.設(shè)樹T含有n(≥4)個(gè)頂點(diǎn),則其第二大

3、距離無符號(hào)拉普拉斯特征值滿足q2≥2n?5,當(dāng)且僅當(dāng)T=Sn時(shí)取等號(hào)。猜想3.設(shè)G是階數(shù)為n的任意連通圖，對(duì)于其第二大距離拉普拉斯特征值?2(G)有，?2(G)≥n當(dāng)且僅當(dāng)圖G為完全圖Kn或Kn?e（從完全圖中去掉一條邊）時(shí)取等號(hào)。猜想4.若G是一個(gè)單圈圖且階數(shù)n≥6，則其最大距離拉普拉斯特征值（譜半徑）滿足?1(G)≥?1(S+n)當(dāng)且僅當(dāng)G=S+n時(shí)取等號(hào)，其中S+n表示在星圖Sn中加一條邊得到的圖。猜想5.若G是一個(gè)單圈圖且階數(shù)n