圖的距離拉普拉斯和距離無符號拉普拉斯特征值的若干結(jié)果.pdf

1、圖譜理論是代數(shù)圖論和組合矩陣論中一個重要的研究領域,在近幾十年中發(fā)展迅速,并得到廣大研究者的關注和青睞.其中,對圖的各類矩陣和特征值的研究是圖譜理論的主要研究內(nèi)容和對象.作為圖的拉普拉斯矩陣和無符號拉普拉斯矩陣的推廣,圖的距離拉普拉斯矩陣和距離無符號拉普拉斯矩陣在2013年被M. Aouchche和P. Hansen正式提出.圖的距離拉普拉斯矩陣和距離無符號拉普拉斯矩陣的定義分別為:L(G)=diag(Tr)?D(G)和Q(G)=dia

2、g(T r)+D(G).其中，diag(T r)表示一個對角陣,對角元為某一點到其他所有點的距離和;D(G)表示圖的距離矩陣。
　　本文主要證明了由M.Aouchche和P. Hansen提出的5個關于圖的距離拉普拉斯特征值和距離無符號拉普拉斯特征值的猜想,如下所示：猜想1.令T為一個樹，其階數(shù)n≥5，則其第二大距離拉普拉斯特征值滿足?2(G)≥2n?1當且僅當圖G為星圖Sn時取等號。猜想2.設樹T含有n(≥4)個頂點,則其第二大

3、距離無符號拉普拉斯特征值滿足q2≥2n?5,當且僅當T=Sn時取等號。猜想3.設G是階數(shù)為n的任意連通圖，對于其第二大距離拉普拉斯特征值?2(G)有，?2(G)≥n當且僅當圖G為完全圖Kn或Kn?e（從完全圖中去掉一條邊）時取等號。猜想4.若G是一個單圈圖且階數(shù)n≥6，則其最大距離拉普拉斯特征值（譜半徑）滿足?1(G)≥?1(S+n)當且僅當G=S+n時取等號，其中S+n表示在星圖Sn中加一條邊得到的圖。猜想5.若G是一個單圈圖且階數(shù)n