格幾乎等距與不具有Dedekind完備性的Hahn-Banach-Kantorovich延拓.pdf

1、Banach格與正算子理論是Banach空間理論的重要而獨(dú)特的一部分.這部分理論的顯著特色是所考慮的空間存在某種格序結(jié)構(gòu).在許多為Banach格與正算子所特有的結(jié)果中,序的極端重要性得以體現(xiàn)出來(lái)并處于核心地位.本文的主要工作包括三方面:考察經(jīng)典Banach格的格幾乎等距同構(gòu)像(lattice-almostisometric copy)；討論Banach格值的Banach-Stone定理；把著名的Hahn—Banach—Kantorovi

2、ch定理推廣到值域空間未必是Dedekind完備的情形.
　　 我們首先討論是c0(或l1,l∞)的格幾乎等距同構(gòu)像的問(wèn)題,亦即R.C.James和J.Partington關(guān)于c0(或l1,l∞)在Banach空間中幾乎等距同構(gòu)像存在性的格版本.波蘭學(xué)者M(jìn).Wójtowicz(2005)最先考慮格幾乎等距同構(gòu)像的問(wèn)題,旨在獲得有關(guān)所研究的像在Banach格中的位置的更多信息.我們不僅希望所考慮的兩個(gè)Banach格的Banach-

3、Mazur距離能任意接近1,還期望它們的格結(jié)構(gòu)是一樣的.
　　 利用不相交列的技巧,我們先證明了Banach格E含c0的格幾乎等距同構(gòu)像當(dāng)且僅當(dāng)E含有c0拓?fù)渫瑯?gòu)像(copy).其次,Banach格E含l1的格幾乎等距像當(dāng)且僅當(dāng)l1可補(bǔ)嵌入到E中.如果E具有序連續(xù)范數(shù),那么E含有l(wèi)1的格幾乎等距像當(dāng)且僅當(dāng)E含有l(wèi)1的拓?fù)渫瑯?gòu)像.最后,利用Partington的結(jié)果我們證明了每個(gè)含有l(wèi)∞的格像(lattice copy)的Bana

4、ch格一定含有l(wèi)∞的格幾乎等距像.特別地,由我們的結(jié)果可以直接推出Dedekindσ完備的Sanach格含有l(wèi)∞的格幾乎等距像當(dāng)且僅當(dāng)它含由l∞的像,這推廣并加強(qiáng)了較早由H.Hudzik和M.Mastylo(1993)得到的關(guān)于l∞在Banach格中的幾乎等距像的結(jié)果,并且我們的方法與之相比是完全不同的.
　　 在第3章里,我們研究了J.Cao,I.Reilly和H.Xiong(2003)的格值Banach-Stone定理.眾所

5、周知,人們已經(jīng)通過(guò)不同的方法得到Banach-Stone定理的不同版本,近年來(lái)對(duì)各種形式的向量值Banach-Stone定理的研究方興未艾.設(shè)X,Y是緊致Hausdorff空間,E是一個(gè)非零的Banach格.C(X,E)按照點(diǎn)序(pointwise ordering)和通常范數(shù)成為一個(gè)Banach格.最近,J.Cao,I.Reilly和H.Xiong(2003)證明了如下格值Banach-Stone定理:假設(shè)存在格同構(gòu)(latticei

6、somorphism)Φ:C(X,E)→C(Y,R)滿足只要f沒(méi)有零點(diǎn)Φ(f)就沒(méi)有零點(diǎn)這一條件,那么X與Y同胚,E與R格同構(gòu).
　　 我們斷言,Cao,Reilly和Xiong的結(jié)果本質(zhì)上是如下已知結(jié)論的直接結(jié)果:如果C(X)與C(Y)格同構(gòu),那么X與Y同胚.我們從而證實(shí)了J.Cao,I.Reilly和H.Xiong(2003)提出的猜想,用到的證明方法是很基本的.并且我們注意到,如果把X,Y的緊性減弱到實(shí)緊性(realcom

7、pactness),則Cao,Reilly和Xiong的結(jié)論仍然成立.進(jìn)一步地,我們還證明了如果Φ:C(X,E)→C(Y,R)是一個(gè)線性雙射且滿足Φf沒(méi)有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f沒(méi)有零點(diǎn),那么即使沒(méi)有Φ是格同構(gòu)的假設(shè)條件,X與Y也是同胚的.
　　 在經(jīng)典的Hahn—Banach-Kantorovich算子延拓定理中,值域空間被假定是Dedekind完備的,即任何非空集合若有上界就一定存在上確界.這一假設(shè)條件至關(guān)重要.利用Y.A.Abram

8、ovich和A.W.Wickstead(1993)關(guān)于定義域空間的可分性與值域所在空間的可數(shù)插值性(σ-interpolation property)相互作用的思想,值域空間Dedekind完備性的假設(shè)條件可以被減弱.近年來(lái),N.D(a)net(2001,2002),R.M.D(a)net和N.C.Wong(2002a,2002b)利用Abramovich和Wickstead的思想得到若干關(guān)于算子在值域空間未必是Dedekind完備的條

9、件下延拓性的結(jié)果.
　　 在第4章里,受N.D(a)net,R.M.D(a)net和Wong的啟發(fā),我們將證明每個(gè)定義在可分Fréchet格(Fréchet lattice)的優(yōu)化子空間(majorizing subspace)上的正線性算子(positive operator),若值域所在的空間是具有Fatou性和可數(shù)插值性的Hausdorff局部實(shí)心Riesz空間(locally solid Riesz space),那么該

10、正算子可以線性延拓成為定義在全空間上的正算子.此外,我們還給出刻劃正算子的端點(diǎn)延拓的特征,其中的值域空間假設(shè)僅具有比Dedekind完備性明顯弱的可數(shù)插值性.設(shè)E是可分的Fréchet格,F是一個(gè)具有可數(shù)插值性的Hausdorff局部實(shí)心Riesz空間,G是E的向量子空間.又設(shè)T:G→F是正線性算子,ε(T)是T的所有正延拓的集合,S∈ε(T).那么S是集合ε(T)的端點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意滿足P(x)≤S(｜x-u｜),()x∈E,u∈G