雙曲守恒律方程的高階半拉格朗日方法.pdf_第1頁(yè)
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1、半拉格朗日(Semi-Lagrangian)方法廣泛用來(lái)計(jì)算Vlasov方程和模擬天氣預(yù)報(bào)業(yè)務(wù),此方法將拉格朗日方法(Lagrangian)和歐拉方法(Eulerian)有效地融合在一起,同時(shí)具備了這兩種方法的優(yōu)點(diǎn):一方面,經(jīng)過(guò)改進(jìn),Semi-Lagrangian方法可以具有高階精度;另一方面,Semi-Lagrangian方法不必受CFL條件的限制,在數(shù)值模擬時(shí)可以大量節(jié)省計(jì)算的時(shí)間。此外,加權(quán)本質(zhì)無(wú)振蕩格式(WENO)作為一種具有高

2、階精度的方法,同時(shí)具有無(wú)振蕩的性質(zhì)。正是由于高階Semi-Lagrangian方法既能達(dá)到高階精確,又能有效地處理振蕩,本文針對(duì)守恒律方程提出了幾種高階的Semi-Lagrangian方法,并且通過(guò)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了方法的高階精度和無(wú)振蕩的性質(zhì),進(jìn)一步豐富了Semi-Lagrangian方法求解守恒律方程的理論知識(shí)。
  首先,提出了一維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian有限體積(FV)方法。采用向左的4階RK方法

3、計(jì)算特征曲線的初值問(wèn)題,并利用特征曲線進(jìn)行不同時(shí)間層的函數(shù)值的等價(jià)轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換后的函數(shù)值可由WENO方法重構(gòu)來(lái)增加空間上的精度。由于沿著特征曲線的軌跡,初始點(diǎn)和終點(diǎn)的位置關(guān)系是變化的,故文中給出了適用于不同情形的WENO重構(gòu)。進(jìn)一步,通過(guò)精度檢測(cè)和對(duì)無(wú)振蕩性質(zhì)的分析,驗(yàn)證了算法的高精度和有效捕捉間斷點(diǎn)的性質(zhì)。
  其次,提出了二維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian有限差分(FD)方法。利用Legendre多項(xiàng)式構(gòu)造了

4、新的WENO方法,該方法與普通的WENO格式有同樣的模板和精度,但不需采用積分計(jì)算去實(shí)現(xiàn)整個(gè)重構(gòu)過(guò)程,節(jié)省了計(jì)算時(shí)間,更適合重構(gòu)文中的不在網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值流通量。除此之外,文中給出的一系列二維守恒律方程的數(shù)值試驗(yàn),驗(yàn)證了該方法的高階精度和處理間斷點(diǎn)的能力。
  最后,提出了5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法。根據(jù)特征速度的符號(hào),本文構(gòu)造了不同的WENO重構(gòu)方法,并將方法做了推廣。由于采用常見(jiàn)的非線性權(quán)的WENO方法

5、會(huì)造成極值點(diǎn)附近的精度下降,因此本文介紹了映射的加權(quán)處理這類問(wèn)題。在數(shù)值模擬時(shí),利用精度分析和無(wú)振蕩性質(zhì)的分析,驗(yàn)證了5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法能達(dá)到5階精度,同時(shí)能維持捕捉間斷點(diǎn)的能力。
  綜上所述,基于高階Semi-Lagrangian方法在求解雙曲守恒律方程時(shí)的高階精度及高分辨率等特性,本文依次提出了一維標(biāo)量方程、Euler方程和帶源項(xiàng)淺水方程的高階Semi-Lagrangian FV方法,二維雙

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