離散動力系統(tǒng)若干混沌問題研究.pdf

1、混沌(Chaos)是非線性科學(xué)研究中的重要內(nèi)容之一，是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，也是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。研究混沌運動的學(xué)科，叫作混沌學(xué)(Chaology)。一般而言，混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機因素亦可出現(xiàn)的類似隨機的動力學(xué)行為(內(nèi)在隨機性)。混沌系統(tǒng)的最大特點就是系統(tǒng)的演變過程對初始條件非常敏感。因此從長期意義上講，系統(tǒng)的未來行為是不可預(yù)測的。
　　 混沌是隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，尤其是在計算機技術(shù)的

2、出現(xiàn)和普遍應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新型交叉學(xué)科?；煦缪芯康闹匾攸c是跨越了學(xué)科界限?；煦鐚W(xué)的普適性，標度率，自相似性，分形，奇怪吸引子，重整化群等概念和方法，正在超越原來數(shù)理科學(xué)的狹窄背景，走進化學(xué)，生物學(xué)，地學(xué)，醫(yī)學(xué)及社會科學(xué)的廣闊天地。著名物理學(xué)家J.Ford認為混沌是20世紀物理學(xué)中繼量子力學(xué)和相對論之后的第三次革命。
　　 盡管科學(xué)家對混沌的研究已近半個世紀，但是至今仍沒有一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義。這一方面是因為混沌系統(tǒng)非常復(fù)雜

3、，從不同的角度理解會有不同的內(nèi)涵；另一方面是因為混沌研究屬于交叉學(xué)科，不同的科學(xué)領(lǐng)域?qū)煦绗F(xiàn)象的認知不同。對離散的動力系統(tǒng)，數(shù)學(xué)上常用的定義包括：Li-Yorke意義下混沌[43，106]，De-vaney意義下混沌[24]，Wiggins意義下混沌[92]，分布式混沌[97]等。對微分同胚，數(shù)學(xué)上常用的混沌定義為Smale馬蹄意義下混沌[34，79，96]。
　　 混沌研究中的一個主要課題是混沌的判定。這一方面的研究已有豐碩的

4、成果。對連續(xù)的區(qū)間映射，有Li和Yorke建立的周期3導(dǎo)致混沌[43]，以及非2次冪周期，紊亂，正的拓撲熵等均能產(chǎn)生Li-Yorke意義下混沌[4]。對高維映射，有著名的Morotto定理[52，53，69]以及減弱條件下的返回擴張不動點理論(snap-back repeller)[75]，以及林偉和陳關(guān)榮建立的異宿擴張不動點理論(heteroclinicrepellers)[48].對一般Banach空間和完備度量空間中的離散系統(tǒng)，有

5、史玉明，陳關(guān)榮和郁培建立的耦合擴張理論和返回擴張不動點理論[68，76]，以及李宗成和史玉明建立的連接擴張不動點異宿環(huán)理論[46]等.對微分同胚的混沌判定，有著名的二維空間中的Smale馬蹄理論，和將其推廣到高維空間中的Smale-Birkhoff定理[79]，以及K.Shiraiwa和M.Kurata建立的高維流形非同胚映射的橫截同宿軌導(dǎo)致Li-Yorke意義下混沌[77]，H.Steinlein和H.Walther建立的Banach

6、空間上的C1映射的橫截同宿軌導(dǎo)致Devaney意義下混沌[81]，J.K.Hale和X.Lin建立的Banach空間上的Ck(k≥0)映射的廣義橫截同宿軌導(dǎo)致Li-Yorke和Devaney意義下混沌[28]，嚴寅和錢敏得到的橫截異宿環(huán)導(dǎo)致橫截同宿軌，從而橫截異宿環(huán)導(dǎo)致混沌[95]，K.Burns和H.Weiss用幾何的方法得到的橫截同宿軌和橫截異宿環(huán)導(dǎo)致馬蹄[8]，李偉固建立的二維空間中微分同胚的鞍結(jié)不動點的橫截同宿軌導(dǎo)致馬蹄[44]

7、，B.Deng得到的高維空間中微分同胚的鞍結(jié)不動點的橫截同宿軌導(dǎo)致馬蹄[23].物理及工程中常用的混沌判定是其解的有界性和正的Lyapunov指數(shù)或正的拓撲熵。
　　 自Li和Yorke引入混沌定義以后，對該混沌現(xiàn)象的研究引起了人們很大的興趣。很多學(xué)者開始研究Li-Yorke混沌系統(tǒng)構(gòu)成的集合的性質(zhì)，比如在某個映射空間中的分布等.Kloeden通過構(gòu)造具有3周期點的連續(xù)區(qū)間映射證明了Li-Yorke意義下混沌的連續(xù)區(qū)間映射集合在

8、映射空間C(I，I)中稠密[37]。But-ler和Pianigiani進一步得到了具有非2次冪周期的連續(xù)區(qū)間映射(從而是Li-Yorke意義下混沌的)包含了C(I，I)中的一稠密開集[9]。后來，利用[39]中關(guān)于非平凡遍歷不變測度的存在性，Siegberg證明了對每個k≥2，存在一稠密集合AkOC(I，I)，使得對每個f∈Ak，滿足(ⅰ)f是Li-Yorke意義下混沌的；(ⅱ)f的拓撲熵滿足h(f)≥logk；(ⅲ)存在關(guān)于f的連續(xù)

9、的遍歷不變測度。從而，存在稠密的剩余集ROC(I，I)，使得對任意的f∈R都滿足上面的性質(zhì)(ⅰ)和(ⅲ)，且h(f)=∞[78].由[3]中的結(jié)果，如果一個連續(xù)的區(qū)間映射f具有正的拓撲熵，那么它不僅是Li-Yorke意義下混沌的，而且也是Devaney意義下混沌的。
　　 對于高維和無窮維混沌映射的稠密性的研究，Siegberg得到了n-維空間中的非循環(huán)的緊多面體P上的連續(xù)映射空間C(P，P)中存在一剩余集ROC(P，P)使得R

10、中每一映射f都幾乎是Li-Yorke意義下混沌的[78，定理3.5]。對無窮維的情況，他利用有限維逼近的方法證明了Li-Yorke意義下混沌的緊映射集合在緊映射空間中是稠密的[78，定理2.5]。最近，Mimna得到了在Rn中一個緊的n-立方體Ω(n個緊區(qū)間的Cartesian乘積)上的連續(xù)映射空間中有一稠密開子集W，使得W中的每個映射在Ω中不是拓撲傳遞的，從而在整個Ω上不是Devaney意義下混沌的[56，定理2]。
　　 同

11、時，在上世紀60年代，Smale[80]提出雙曲映射的稠密性問題。一些學(xué)者認為對任意維數(shù)的空間，雙曲系統(tǒng)都是稠密的.但是在60年代末期，這一猜想對于維數(shù)大于等于2的流形上的微分同胚被證明為錯的。于是，許多學(xué)者開始研究一維空間中雙曲系統(tǒng)的稠密性，在C1拓撲意義下的稠密性由Jakobson[33]解決，C2拓撲意義下的稠密性由Blokh和Misiurewicz[5]部分解決，并由Shen[67]最終解決.2007年，Kozlovski，Sh

12、en和Strien得到了Ck拓撲意義下的結(jié)果，即雙曲(即公理A)映射在緊區(qū)間或者圓周上的Ck映射空間中是稠密的，其中k=1，2，…，∞，ω[38]。與此同時，另外一些學(xué)者考慮從某個流形到自身的微分同胚空間中，雙曲微分同胚的分布問題。類似于Smale的工作，Palis[59，60]給出下面的猜想：(1)任一f∈Diff(M)可由一雙曲微分同胚或者具有雙曲分岔(切或者環(huán))的微分同胚來逼近，(2)任一微分同胚可由一Morse-Smale系統(tǒng)或

13、一具有橫截同宿軌的系統(tǒng)Cr逼近。后來，Pujals和Sambarina[63]證明這一結(jié)果對于曲面上的C1微分同胚成立。并且還得到一些較好的結(jié)果，比如任一微分同胚可由一Morse-Smale微分同胚或者一具有橫截同宿軌的微分同胚C1逼近[18]，任一微分同胚可由具有同宿切或者異維環(huán)或者本質(zhì)雙曲的同胚C1逼近[19]。
　　 在混沌控制方面，當(dāng)混沌有害時，就要設(shè)法消除他們。目前已經(jīng)取得了許多有效消除混沌的方法。例如，OGY法，偶然

14、正比反饋技術(shù)(簡稱OPF技術(shù))，脈沖控制，滑?？刂?，線性和非線性控制，自適應(yīng)控制等。當(dāng)混沌有益時，進行混沌反控制以產(chǎn)生混沌。對離散動力系統(tǒng)混沌反控制的研究已經(jīng)取得了很大進展。陳關(guān)榮和賴德健對有限維離散系統(tǒng)提出并發(fā)展了狀態(tài)反饋控制方法[12]。史玉明，郁培和陳關(guān)榮把狀態(tài)反饋控制方法推廣到了一般Banach空間中。有關(guān)離散系統(tǒng)混沌反控制的歷史和發(fā)展之現(xiàn)狀見[13，14，25，30，89，101]。
　　 本文主要研究有限維空間中連續(xù)

15、映射橫截同宿軌的存在性問題，一般Banach空間中某些混沌映射的稠密性問題以及有限維空間中離散動力系統(tǒng)的混沌化問題。本文由四章組成，主要內(nèi)容如下：
　　 第一章簡單介紹混沌的研究進展，給出-些預(yù)備知識，其中包括幾個數(shù)學(xué)上常用的混沌的定義，離散動力系統(tǒng)中的幾個基本概念，符號動力系統(tǒng)的相關(guān)理論，一般Banach空間中連續(xù)映射的橫截同宿軌的定義，以及關(guān)于離散動力系統(tǒng)的混沌判定的一些研究成果。
　　 第二章研究一般連續(xù)映射橫截同

16、宿軌的存在性。首先給出一般Banach空間中連續(xù)映射的橫截異宿環(huán)的定義。其次將有限維空間中微分同胚的橫截異宿環(huán)導(dǎo)致橫截同宿軌的結(jié)果推廣到連續(xù)映射上。然后給出在有限維空間中連續(xù)映射存在橫截同宿軌的一個充分條件。最后，給出兩個例子及其計算機仿真，本文，我們只是考慮一般的連續(xù)映射存在橫截同宿軌的條件，并未假定系統(tǒng)有同宿軌。
　　 第三章研究某些混沌映射在連續(xù)映射空間中的稠密性，包括耦合擴張映射，具有返回擴張不動點的映射及具有橫截同宿軌