一類變系數(shù)亥姆霍茲算子的特征模計算及應用研究.pdf

1、以物理中的光波導為背景，數(shù)學上，本文分別對無界變系數(shù)亥姆霍茲方程的模式求解問題及反散射問題的數(shù)值算法兩類問題進行了研究。第一類問題，對于緩變光波導，本文推導得到了使用完美匹配層(perfectly matched layer，簡稱PML)邊界的TM模式下傳播常數(shù)滿足的三角矩陣近似的色散方程;進一步地，對一般的光波導，本文得到了使用PML邊界的TE和TM模式下全矩陣近似的高精度的色散方程。另外，本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的

2、漸近解公式，當求解這兩種模在大模（|β|較大）時的高精度解時，它們可以作為使用牛頓迭代法高精度求解色散方程時的初始值。對于另一類問題，反介質的重建問題，本文給出了較好的數(shù)值反演算法。
　　具體地說，對于無界的光波導，本文使用PML邊界條件將無界問題有界化。由于討論的是波導非均勻的情況，所以使用了微分轉移矩陣來推導芯層的轉移矩陣。本文首先推導了TM模式的微分轉移矩陣，并對該微分轉移矩陣進行積分，對積分后的形式進行矩陣指數(shù)運算。但是因

3、為指數(shù)運算難以給出簡單明確的表達式，所以對波導緩變的情況，本文使用上、下三角矩陣近似微分轉移矩陣，最終推導得到了PML邊界下TM模式的兩個三角矩陣近似的色散關系，并對波導的大模情況，本文給出了泄漏模和Berenger模的解析的漸近解公式。因為在波導模式的分析中，相對于小模，高精度求解大模要困難得多，所以使用牛頓法求解泄漏模和Berenger模的高精度解時，它們的漸近解可以作為迭代初始值。在另一個研究工作中，為了進一步提高特征值的精度，本

4、文不對微分轉移矩陣進行任何近似，直接對其積分，并對積分后的形式進行矩陣變換，然后近似地進行矩陣指數(shù)的計算，最終結合PML邊界條件，推導得到了特征模式（傳播模、泄漏模、Berenger模）滿足的全矩陣近似的高精度的解析的色散關系。這個色散關系對一般折射率連續(xù)變化且可導的波導都適用，不在局限于緩變波導的情況。而且，在一定的條件下，可以精確地計算矩陣指數(shù)，此時上面得到的高精度的色散關系變?yōu)榫_的色散關系。
　　對于波導中的反介質重建問題