積分方程（組）的蒙特卡羅求解方法.pdf

1、隨著計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展,蒙特卡羅(MC)方法的應(yīng)用已從最早的蒲豐投針問題上發(fā)展到數(shù)學(xué)、工程熱物理學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、金融學(xué)等各個(gè)不同學(xué)科領(lǐng)域,其應(yīng)用范圍愈漸廣泛.根據(jù)產(chǎn)生用于模擬的隨機(jī)樣本的不同方法,蒙特卡羅方法可分為靜態(tài)蒙特卡羅方法和動(dòng)態(tài)蒙特卡羅方法(亦稱為馬氏鏈蒙特卡羅(MCMC)方法).蒙特卡羅方法具有收斂速度不受研究問題維數(shù)影響的優(yōu)點(diǎn),因此,該方法幾乎是處理高維問題唯一有效的計(jì)算方法.蒙特卡羅方法的缺點(diǎn)是收斂速度慢計(jì)

2、算精度不高,在給定樣本量下,可以通過方差縮減技術(shù)實(shí)現(xiàn)加速該方法的收斂速度提高計(jì)算精度,常用的方差縮減技術(shù)有重要性抽樣法、控制變量法.
　　積分方程在成為一門獨(dú)立學(xué)科的道路上,挪威數(shù)學(xué)家Niels Abel、意大利數(shù)學(xué)家Vito Volterra、瑞典數(shù)學(xué)家ErikIvar Fredholm和德國數(shù)學(xué)家David Hilbert做出了不可磨滅的貢獻(xiàn),積分方程的發(fā)展始終伴隨著在不同學(xué)科的廣泛應(yīng)用,因其可以與微分方程互相轉(zhuǎn)換且可以降低維

3、數(shù),所以被廣泛應(yīng)用于工程系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域.
　　雖然已有Nystr?m法、配置法、有限元方法、逐次逼近法、求積公式法等眾多確定性數(shù)值方法可以求解積分方程(組),但一些確定性方法在求解過程中會(huì)遭遇求解系統(tǒng)維數(shù)或階數(shù)過高的難題,而蒙特卡羅方法的優(yōu)點(diǎn)恰好可以彌補(bǔ)確定性方法的不足.因此,將蒙特卡羅方法與確定性方法結(jié)合使用逐漸被眾多科學(xué)計(jì)算工作者青睞.本文致力于研究積分方程的隨機(jī)模擬求解方法—蒙特卡羅模擬求解算法,發(fā)展積分方程的科學(xué)

4、計(jì)算方法,為科技工作者提供數(shù)值計(jì)算方法的借鑒.
　　本文主要開展了應(yīng)用蒙特卡羅方法數(shù)值求解第二類Volterra型積分方程組、第二類Fredholm型積分方程以及第二類Volterra型積分方程這三方面的工作，F(xiàn)redholm型積分方程和Volterra型積分方程是積分方程這門學(xué)科中最基礎(chǔ)的兩類方程,同時(shí)它們在實(shí)際問題中都有很廣泛的應(yīng)用背景.因此,發(fā)展這兩類方程的科學(xué)計(jì)算方法具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.本文的主要工作概括如下

5、.
　　第一章簡要概述了蒙特卡羅方法的實(shí)施過程、優(yōu)良特性和基本信息,積分方程的發(fā)展過程和應(yīng)用范圍,使用蒙特卡羅方法求解積分方程(組)的研究歷史與現(xiàn)狀,本文開展的主要研究內(nèi)容.
　　第二章提出結(jié)合使用數(shù)值求積公式法和基于重要性抽樣的動(dòng)態(tài)蒙特卡羅方法數(shù)值求解Volterra型第二類積分方程組,給出了產(chǎn)生動(dòng)態(tài)隨機(jī)樣本的初始概率和一步轉(zhuǎn)移概率的選擇方案.文中理論證明了迭代蒙特卡羅重要性抽樣方法求解積分方程組的可行性和有效性,一些經(jīng)典

6、算例被求解以說明動(dòng)態(tài)蒙特卡羅方法的計(jì)算精度具有一定參考價(jià)值.
　　第三章提出使用Gauss-Legendre求積公式法和基于控制變量法的動(dòng)態(tài)蒙特卡羅方法相結(jié)合的方法,數(shù)值求解Fredholm型第二類積分方程.給出復(fù)合Gauss-Legendre求積公式的余項(xiàng)以及使用Taylor展開式構(gòu)造控制變量的具體過程.文中從理論和算例兩方面證明了迭代蒙特卡羅控制變量方法可以提高求解Fredholm型積分方程的計(jì)算精度.
　　第四章提出結(jié)