非局部反應(yīng)擴散方程的空間動力學(xué)研究.pdf

1、非局部反應(yīng)擴散方程被認(rèn)為可以更加準(zhǔn)確地描述物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)中的自然現(xiàn)象,所以受到越來越多的關(guān)注.但是隨著非局部時滯的引入,使得原有的許多關(guān)于反應(yīng)擴散方程的研究方法受到了挑戰(zhàn),同時在研究過程中也發(fā)現(xiàn)了許多由非局部時滯作用引起的動力學(xué)行為方面的本質(zhì)變化.目前關(guān)于非局部反應(yīng)擴散方程行波解的研究大都考慮的是非局部時滯充分弱或反應(yīng)項滿足某些條件,如擬單調(diào)、指數(shù)擬單調(diào)、弱擬單調(diào)以及指數(shù)弱擬單調(diào)等等.關(guān)于非局部時滯沒有限制時行波解的相關(guān)研究很少,而

2、且這些研究結(jié)果不能充分揭示非局部反應(yīng)擴散方程的許多重要性質(zhì).另外關(guān)于無界區(qū)域上的初值問題以及系統(tǒng)的斑圖生成等問題的研究目前也很少,而這些都是反應(yīng)擴散方程中的重要問題,因此本文將致力于研究幾類非局部反應(yīng)擴散方程的行波解、初值問題以及斑圖生成等等.主要內(nèi)容將分五部分進行闡述.
　　本文首先研究了一類具有Allee效應(yīng)的非局部反應(yīng)擴散單種群模型的行波解.由于比較原理不成立,從而基于比較原理的經(jīng)典方法,如上下解方法、移動平面法等都不能應(yīng)用

3、.因此應(yīng)用Leray-Schauder度理論等方法證得當(dāng)且僅當(dāng)波速c≥2√r(其中r>0是物種的內(nèi)稟增長率)時,模型存在連接平衡點0到未知正穩(wěn)態(tài)的行波解.進一步利用常數(shù)變易法、柯西-施瓦茲不等式以及一系列分析討論說明了當(dāng)波速c充分大時,這個未知的正穩(wěn)態(tài)恰好就是方程唯一的正平衡點.此外,針對兩類特殊的核函數(shù),還討論了隨著非局部性增強行波解性質(zhì)的變化,并說明前面所說的未知的正穩(wěn)態(tài)也可能是周期穩(wěn)態(tài).
　　其次研究了帶有聚集項的非局部反應(yīng)

4、擴散方程的行波解.由于聚集項的出現(xiàn),使模型的解不能被其在零平衡點處的線性化方程所控制.因此,借助于一個輔助方程來構(gòu)造合適的上解,進而證明了連接0到未知正穩(wěn)態(tài)的行波解的存在性.對充分大的波速,也證明了未知的正穩(wěn)態(tài)解就是正平衡點.另外,還應(yīng)用上下解方法證明了該模型存在連接0到正平衡點的單調(diào)行波.最后,取特殊的核函數(shù),通過數(shù)值模擬的辦法,說明隨著非局部性的增強,方程的行波解可能連接0到一個周期穩(wěn)態(tài).進一步借助于穩(wěn)定性分析解釋了為什么以及什么時

5、候出現(xiàn)周期穩(wěn)態(tài).
　　第三部分考慮了一類帶有積分項的捕食-食餌模型的初值問題.通過重新定義問題的上下解,并借助于一些輔助函數(shù),建立了比較原理,從而構(gòu)造單調(diào)序列并以此給出了初值問題解的存在性和唯一性證明.緊接著借助于輔助方程證明了解的一致有界性.最后,給出了初值問題出現(xiàn)Turing分支的條件并通過數(shù)值模擬驗證了這些條件.
　　本文第四部分研究了具有非局部項的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的行波解.借助于兩點邊值問題和Sc

6、hauder不動點定理,證明了當(dāng)波速c>c=max{2,2√dr}(其中d和r分別是擴散系數(shù)和物種的內(nèi)稟增長率)時,系統(tǒng)存在連接平衡點(0,0)到未知正穩(wěn)態(tài)的行波解;而當(dāng)波速c　　最后,探討了具有非局部項的Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)的動力學(xué)行為.通過穩(wěn)定性分析,建立了系統(tǒng)出現(xiàn)T