非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程的空間動(dòng)力學(xué)研究.pdf

1、非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程被認(rèn)為可以更加準(zhǔn)確地描述物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)中的自然現(xiàn)象,所以受到越來(lái)越多的關(guān)注.但是隨著非局部時(shí)滯的引入,使得原有的許多關(guān)于反應(yīng)擴(kuò)散方程的研究方法受到了挑戰(zhàn),同時(shí)在研究過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)了許多由非局部時(shí)滯作用引起的動(dòng)力學(xué)行為方面的本質(zhì)變化.目前關(guān)于非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究大都考慮的是非局部時(shí)滯充分弱或反應(yīng)項(xiàng)滿足某些條件,如擬單調(diào)、指數(shù)擬單調(diào)、弱擬單調(diào)以及指數(shù)弱擬單調(diào)等等.關(guān)于非局部時(shí)滯沒(méi)有限制時(shí)行波解的相關(guān)研究很少,而

2、且這些研究結(jié)果不能充分揭示非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程的許多重要性質(zhì).另外關(guān)于無(wú)界區(qū)域上的初值問(wèn)題以及系統(tǒng)的斑圖生成等問(wèn)題的研究目前也很少,而這些都是反應(yīng)擴(kuò)散方程中的重要問(wèn)題,因此本文將致力于研究幾類(lèi)非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解、初值問(wèn)題以及斑圖生成等等.主要內(nèi)容將分五部分進(jìn)行闡述.
　　本文首先研究了一類(lèi)具有Allee效應(yīng)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散單種群模型的行波解.由于比較原理不成立,從而基于比較原理的經(jīng)典方法,如上下解方法、移動(dòng)平面法等都不能應(yīng)用

3、.因此應(yīng)用Leray-Schauder度理論等方法證得當(dāng)且僅當(dāng)波速c≥2√r(其中r>0是物種的內(nèi)稟增長(zhǎng)率)時(shí),模型存在連接平衡點(diǎn)0到未知正穩(wěn)態(tài)的行波解.進(jìn)一步利用常數(shù)變易法、柯西-施瓦茲不等式以及一系列分析討論說(shuō)明了當(dāng)波速c充分大時(shí),這個(gè)未知的正穩(wěn)態(tài)恰好就是方程唯一的正平衡點(diǎn).此外,針對(duì)兩類(lèi)特殊的核函數(shù),還討論了隨著非局部性增強(qiáng)行波解性質(zhì)的變化,并說(shuō)明前面所說(shuō)的未知的正穩(wěn)態(tài)也可能是周期穩(wěn)態(tài).
　　其次研究了帶有聚集項(xiàng)的非局部反應(yīng)

4、擴(kuò)散方程的行波解.由于聚集項(xiàng)的出現(xiàn),使模型的解不能被其在零平衡點(diǎn)處的線性化方程所控制.因此,借助于一個(gè)輔助方程來(lái)構(gòu)造合適的上解,進(jìn)而證明了連接0到未知正穩(wěn)態(tài)的行波解的存在性.對(duì)充分大的波速,也證明了未知的正穩(wěn)態(tài)解就是正平衡點(diǎn).另外,還應(yīng)用上下解方法證明了該模型存在連接0到正平衡點(diǎn)的單調(diào)行波.最后,取特殊的核函數(shù),通過(guò)數(shù)值模擬的辦法,說(shuō)明隨著非局部性的增強(qiáng),方程的行波解可能連接0到一個(gè)周期穩(wěn)態(tài).進(jìn)一步借助于穩(wěn)定性分析解釋了為什么以及什么時(shí)

5、候出現(xiàn)周期穩(wěn)態(tài).
　　第三部分考慮了一類(lèi)帶有積分項(xiàng)的捕食-食餌模型的初值問(wèn)題.通過(guò)重新定義問(wèn)題的上下解,并借助于一些輔助函數(shù),建立了比較原理,從而構(gòu)造單調(diào)序列并以此給出了初值問(wèn)題解的存在性和唯一性證明.緊接著借助于輔助方程證明了解的一致有界性.最后,給出了初值問(wèn)題出現(xiàn)Turing分支的條件并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了這些條件.
　　本文第四部分研究了具有非局部項(xiàng)的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的行波解.借助于兩點(diǎn)邊值問(wèn)題和Sc

6、hauder不動(dòng)點(diǎn)定理,證明了當(dāng)波速c>c=max{2,2√dr}(其中d和r分別是擴(kuò)散系數(shù)和物種的內(nèi)稟增長(zhǎng)率)時(shí),系統(tǒng)存在連接平衡點(diǎn)(0,0)到未知正穩(wěn)態(tài)的行波解;而當(dāng)波速c　　最后,探討了具有非局部項(xiàng)的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.通過(guò)穩(wěn)定性分析,建立了系統(tǒng)出現(xiàn)T