分數(shù)階反應擴散系統(tǒng)中的動力學行為.pdf

1、反常擴散現(xiàn)象普遍存在于物理、數(shù)學、生物學以及金融學等諸多領域，分數(shù)階微積分方法被發(fā)現(xiàn)可以有效模擬反常擴散過程。近年來，分數(shù)階微分方程作為描述復雜物理過程的模型引起了國內(nèi)外學者的廣泛關注，分數(shù)階微積分在非線性領域中的應用地位也日益凸顯。利用分數(shù)階導數(shù)建?？梢苑治龊吞幚砼c反?，F(xiàn)象有關的系統(tǒng)中的動力學行為，已經(jīng)證實了分數(shù)階模型能夠比較準確地描述固有的異常指數(shù)或重尾衰變過程以及具有記憶性和非局域性的物理過程。本文采用有限差分法對分數(shù)階反應擴散系

2、統(tǒng)中的動力學行為進行數(shù)值研究，主要的內(nèi)容和結論如下:
　　第一部分:主要對反常擴散以及分數(shù)階微分涉及到的相關基礎理論和研究現(xiàn)狀進行介紹，同時對本文的研究動機和主要內(nèi)容進行簡要說明。
　　第二部分:利用分數(shù)階艾倫卡恩反應擴散方程作為數(shù)學模型研究了一維分數(shù)階反應擴散系統(tǒng)中的動力學行為，給出了分數(shù)階α、系統(tǒng)擴散系數(shù)k對系統(tǒng)動力學行為的影響。當改變系統(tǒng)的分數(shù)階α時，系統(tǒng)波解的波形會發(fā)生不同程度的變化;波解中峰傳播速度隨分數(shù)階α的增大

3、表現(xiàn)為不同程度上的遞增，其大小將主要依賴于分數(shù)階α以及系統(tǒng)擴散系數(shù)k的具體取值。
　　第三部分:采用FHN局部動力學模型對二維分數(shù)階反應擴散系統(tǒng)（具有分數(shù)階導數(shù)的擴散項）中的行波脈沖以及行波脈沖鏈的動力學行為進行了研究。對于一次擾動產(chǎn)生的單個行波脈沖，行波脈沖的傳播速度會受到分數(shù)階的影響，其與分數(shù)階α、系統(tǒng)擴散系數(shù)的算數(shù)平方根成線性比例關系;對于不同的分數(shù)階，行波脈沖傳播所需的最小擴散系數(shù)是不同的，所需的最小擴散系數(shù)與分數(shù)階α之間

4、滿足e指數(shù)衰減關系。對于周期擾動產(chǎn)生的行波脈沖鏈，在一些擾動周期的取值范圍內(nèi)，脈沖鏈的周期Te與擾動周期Tp按有理數(shù)比鎖定，最為明顯的1∶1與2∶1鎖定，其相應的擾動周期的取值范圍我們稱為1∶1與2∶1鎖定帶;分數(shù)階α會影響各鎖定帶在Tp軸上的位置，隨著分數(shù)階α的值不斷減小，鎖定帶會沿著Tp軸的增大方向移動。分數(shù)階α=2.0，Tp=95時，處于1∶1鎖定帶，而隨分數(shù)階α的不斷減小，當α=1.7時，則處于2∶1鎖定帶，進而影響行波脈沖鏈中

5、的相鄰脈沖之間的疏密程度。
　　第四部分:采用FHN局部動力學模型對二維分數(shù)階反應擴散系統(tǒng)（具有分數(shù)階導數(shù)的擴散項）中的螺旋波動力學行為進行了研究，發(fā)現(xiàn):分數(shù)階擴散會導致螺旋波的波頭發(fā)生漂移。當可激性參數(shù)ε小于0.00465時，正常擴散的反應擴散系統(tǒng)支持漫游螺旋波，其波頭路徑由花瓣形的單元組成，減小分數(shù)階α，螺旋波會沿著某一方向漂移。接近正常擴散時，局部的路徑仍成花瓣形，但下一個花瓣形路徑單元會較上一個花瓣形路徑單元有個小的偏離，

6、每次偏離的方向都是相同的，形成了整體的偏離。分數(shù)階α進一步減小，偏離變大，兩個花瓣形路徑單元間被用圓滾型路徑單元相連，這些圓滾型的路徑單元的方向是一致的。當分數(shù)階α偏離2.0比較大的時候，螺旋波波頭將按照圓滾的方式運動到邊界，在分數(shù)階α減小的過程中，向邊界漂移的速度是加快的。當可激性參數(shù)ε大于0.00465時，正常擴散作用下的系統(tǒng)支持剛性旋轉螺旋波，減小分數(shù)階α，螺旋波始終以圓滾的方式漂移到邊界，漂移速度隨著分數(shù)階α的減小而增大。我們也