同倫攝動(dòng)—再生核法求解二階常微分方程初值問題.pdf

1、現(xiàn)代學(xué)科中的許多研究課題都可以通過求解非線性方程的初值問題來解決。因此,求解非線性方程的初值問題是許多專家與學(xué)者所關(guān)注的熱點(diǎn)問題,具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。在解決非線性方程的初值問題的發(fā)展過程中,許多數(shù)值解法被廣大學(xué)者所提出,如Runge-Kutta方法、線性多步法、變分迭代法、牛頓法、歐拉法、同倫攝動(dòng)法等。
　　何吉?dú)g提出的同倫攝動(dòng)法是結(jié)合傳統(tǒng)的攝動(dòng)理論和同倫技術(shù)的方法,克服了原有的傳統(tǒng)攝動(dòng)理論的不足,將許多復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為更

2、容易求解的線性問題,使問題得到解決。該方法所求得的級(jí)數(shù)解能夠快速收斂到真解,且取級(jí)數(shù)解的有限項(xiàng)就能快速地逼近方程的真解?；谏鲜鰞?yōu)點(diǎn),該方法被廣大學(xué)者應(yīng)用到各領(lǐng)域中。
　　再生核方法是一種利用初始條件構(gòu)造線性算子,通過求解簡(jiǎn)單的線性算子方程而求得原來復(fù)雜的非線性方程的一項(xiàng)分析技術(shù)。
　　但是同倫攝動(dòng)法也有許多不足之處:
　　(1)對(duì)于一些強(qiáng)非線性問題,該方法只在局部收斂;
　　(2)由于算子是否為壓縮算子難以驗(yàn)證

3、,所以對(duì)于該方法的收斂性問題沒有嚴(yán)格的證明。
　　基于以上兩點(diǎn),本文采用改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法:對(duì)方程進(jìn)行分段求解?？朔藗鹘y(tǒng)的同倫攝動(dòng)法的不足,同時(shí)本文還給出了嚴(yán)格的收斂性證明。
　　本文主要研究應(yīng)用改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法求解非線性Volterra積分—微分方程初值問題,同時(shí)結(jié)合再生核方法求解非線性二階常微分方程初值問題。并且對(duì)改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法的收斂性給出嚴(yán)格的證明。每章中數(shù)值算例部分的數(shù)值結(jié)果,充分說明改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法在求解非線性問