Banach空間中二階混合型積分—微分方程初值問(wèn)題的解.pdf

1、本文主要考慮了如下形式的Banach空間E中二階混合型積分-微分方程的初值問(wèn)題：u"(t)=f(t，u(t)，u'(t)，(Tu)(t)，(Su)(t))，(2.1)u(0)=u0，u'(0)=u1。(2.2)其中t∈J=[0，1]，f∈C[J×E×E×E×E，E]，(Tu)(t)=∫0k(t，s)u(s)ds，(Su)(t)=∫10h(t，s)u(s)ds，k∈C[D,R+]，h∈C[J×J，R+]，D={(t，s)∈J×J：t≥s}

2、，k0=maxt∈[0,1]∫t0∫s0k(s，r)drds，h0=maxt∈[0,1]∫t0∫10h(s，r)drds，K(t)=∫t0k(t,s)ds，H(t)=∫10h(t,s)ds。在E中由錐P引進(jìn)偏序。 下面我們列出主要假設(shè)：(H1)存在v0，w0∈C1[J，E]∩C2[J，E]，使得v0(t)≤w0(t)，且v'0(t)≤w'0(t)，()t∈J。并且v0(t)，w0(t)分別是初值問(wèn)題(2.1)-(2.2)的下解和

3、上解，即v"0≤f(t，v0，v'0，Tv0，Sv0)，()t∈J，v0(0)≤u0，v'0(0)≤u1；w"0≥f(t，w0，w'0，Tw0，Sw0)，()t∈J，w0(0)≥u0，w'0(0)≥u1。(H2)存在常數(shù)M≥0，M1＞0，N＞0使得f(t，u，v，w,z)-f(t,(-u)，(-v)，(-w)，(-z))≥-M(u-(u))-M1(v-(-v))-N(w-(-w)，()t∈J，其中v0(t)≤(-u)≤u≤w0(t)，v

4、'0(t)≤(-v)≤v≤w'0(t)，(Tv0)(t)≤(-w)≤w≤(Tw0)(t)，(Sv0)(t)≤(-z)≤z≤(Sw0)(t)。(H3)存在常數(shù)ci≥0，(i=1，2，3，4)，使α(f(J，V1，V2，V3，V4))≤c1α(V1)+c2α(V2)+c3α(V3)+c4α(V4)，其中Vi()E是有界集，i=1,2,3,4，α為E中有界集的Kuratowski非緊性測(cè)度。 本文考慮下解小于等于上解的情形，首先證明了

5、一個(gè)比較定理，然后利用非緊性條件并借助單調(diào)迭代技巧和錐理論得到了初值問(wèn)題(2.1)-(2.2)的最小解、最大解的存在性。其主要結(jié)果如下： 定理3.1設(shè)E是實(shí)Banach空間，P是正規(guī)錐，且條件(H1、H2、H3)滿足，假定不等式4(c1+2c2+c3k0+c4h0+2Nk0+2M+M1)＜1，K(t)≤k0(t)e-M1t，NM'≤1成立。這里k0(t)∈C[J，R+]，且滿足N∫t0k0(s)ds≤M/M1＜1。M'=maxt

6、∈[0,1]∫t0k*(t,s)ds，而k*(t,s)=eM1(t-s)(M/N+∫tsk(t,r)dr)。則初值問(wèn)題(2.1)-(2.2)在[v0，w0]中必具有最小解和最大解(-u)，u*∈C2[J，E]，并且由vn(t)=Fn-1(t)+∞∑i=1(-1)i∫t0Ki(t,s)Fn-1(s)ds，()t∈J；wn(t)=Gn-1(t)+∞∑i=1(-1)i∫t0Ki(t,s)Gn-1(s)ds，()t∈J。其中K1(t,s)=M(

7、t-s)+M1+N∫ts(t-r)k(r，s)dr，Ki(t，s)=∫tsK1(t，r)Ki-1(r，s)dr,()(t，s)∈D，(i=2，3…)，F(xiàn)n-1(t)=u0+(M1u0+u1)t+∫t0(t-s)(f(s，vn-1(s)，v'n-1(s)，(Tvn-1)(s)，(Svn-1)(s))-Mvn-1(s)-N(Tvn-1)(s))-M1vn-1(s)]dsGn-1(t)=u0+(M1u0+u1)t+∫t0[t-s)(f(s，w

8、n-1(s)，w'n-1(s)，(Twn-1)(s)，(Swn-1)(s))-Mwn-1(s)-N(Twn-1)(s))-M1wn-1(s)]ds確定的迭代序列{vn(t)}和{wn(t)}在J上分別一致收斂于(-u)(t)和u*(t)，且在J上有v0(t)≤v1(t)≤…≤vn(t)≤…≤(-u)(t)≤…≤u*(t)≤wn(t)≤…≤w1(t)≤w0(t)，()t∈J。 定理3.2設(shè)E是實(shí)Banach空間，P是正則的，且條件