高階邊值問題解的存在性與多重性.pdf

1、本文主要研究高階微分方程邊值問題解的存在性與多重性.論文分三章對一類非線性四階雙參數及四階奇異邊值問題進行了討論.在第一章中，我們主要利用強單調映象原理和臨界點理論研究算子方程解的存在性與多重性，然后把算子方程的抽象結果應用到非線性四階雙參數兩點邊值問題中.我們對非線性項f進行一些適當的限制，得到了邊值問題解的存在性，唯一性以及多解性.這部分內容已經被SCI收錄的核心雜志《J.Math.Anal.Appl.》接收，見[17].在第二章中

2、，我們利用算子方程的抽象結果來研究一類四階奇異邊值問題.在非線性項f滿足適當的條件時，我們得到問題至少有兩個正解，一個正解，沒有正解的結論.這部分內容已發(fā)表在《山西大學學報》，見[24].在第三章中，我們首先利用拓撲度理論及不動點指數理論研究非線性算子方程的變號解的存在性，然后把這些抽象結果應用到四階雙參數邊值問題中，所研究的方程與第一章相同.在這一章中，我們利用拓撲度理論與不動點指數理論得到算子方程變號解的存在性，并且推廣了著名的Am

3、ann三解定理.這部分內容已經被SCI收錄的核心雜志《J.Math.Anal.Appl.》接收，見[18]. 下面，我們對本文的主要結果加以具體闡述. 在第一章中，我們主要討論以下四階雙參數邊值問題(BVP)：{u(4)(t)+βu"(t)-αu(t)=f(t，u(t))，t∈[0，1]，u(0)=u(1)=0，(1.1.1)u"(0)=u"(1)=0解的存在性、唯一性及多解性，其中f：[0，1]×R1→R1連續(xù)，α，β

4、∈R1且滿足β＜2π2，β2+4α≥0，α/π4+β/π2＜1. 主要結論如下：定理1.4.1.設對每一個t∈[0，1]，f(t，u)關于u是減函數，即f(t，u1)≥f(t，u2)，u1，u2∈R1且u1＜u2.則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中有唯一解. 定理1.4.2.若存在a∈[0，π4-βπ2-α)使得[f(t，u)-f(t，v)][u-v]≤a|u-v|2，t∈[0，1]，u，v∈R1，則BVP(1.1

5、.1)在C4[0，1]中有唯一解. 定理1.4.3.設∫u0f(t，v)dv≤a/2u2+b(t)|u|2-γ+c(t)，t∈[0，1]，u∈R1，其中a∈[0，π4-βπ2-α)，γ∈(0，2)，b∈L2/γ[0，1]，且c∈L[0，1].則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一個解. 定理1.4.4.設(B1)存在μ∈(0，1/2)及R＞0使得F(t，u)(△=)∫u0f(t，v)dv≤μuf(t，u)，t∈

6、[0，1]且|u|≥R；(B2)limsupu→0f(t，u)/u＜π4-βπ2-α和liminfu→+∞f(t，u)/u＞π4-βπ2-α對t∈[0，1]一致成立.則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一個非零解. 定理1.4.5.設f(t，u)關于u是奇函數，即f(t，-u)=-f(t，u)，t∈[0，1]，u∈R1.進一步假設定理1.4.4中條件(B1)成立以及l(fā)imsupu→0f(t，u)/u＜π4-βπ2-α和

7、limu→+∞f(t，u)/u=+∞對t∈[0，1]一致成立.則BVP(1.1.1)有無窮多個解. 定理1.4.6.設條件(B1)成立，且(B3)limsupu→0f(t，u)/u＜(n+1)4π4-β(n+1)2π2-α對t∈[0，1]一致成立； (B4)F(t，u)≥2-1(n4π4-βn2π2-α)u2，(t，u)∈[0，1]×R1.則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一個非零解. 在第二章中，我

8、們主要討論以下四階奇異邊值問題(BVP)：{u(4)(t)=λp(t)f(u(t)),t∈(0，1)，u(0)=u(1)=0，(2.1.1)u"(0)=u"(1)=0，其中λ是一個正參數，p∈C((0，1)，(0，+∞))且在t=0，1點奇異，f∈C(R+，R+)，R+=[0，+∞).首先作下列基本假設：(H4)f∈C(R+，R+)在R+上遞增，p∈C((0，1)，(0，∞))且在0，1點奇異，且∫10s(1-s)p(s)ds＜+∞.(

9、H5)f(0)＞0，limx→+∞f(x)/x=+∞.(H6)limx→0+f(x)/x=+∞且存在μ＞0使得f(x)≥μx，x∈R+. 主要結論如下：定理2.2.1.設(H4)和(H5)成立.則存在λ*＞0使得BVP(2.1.1)對所有λ∈(0，λ*)至少有兩個正解，對λ=λ*至少有一個正解，對λ＞λ*沒有正解. 定理2.2.2.設(H4)和(H6)成立.則存在λ*＞0使得BVP(2.1.1)對所有λ∈(0，λ*)至少

10、有一個正解，對λ＞λ*沒有正解. 在第三章中，我們仍然討論BVP(1.1.1)，給出下列條件：(D1)f：[0，1]×R1→R1連續(xù)且在[0，1]上f(·，0)=0以及f(·，s)s≥0，s∈R1； (D2)α，β∈R1滿足β＜2π2，α≥-β2/4，及α/π4+β/π2＜1.我們得到BVP(1.1.1)變號解的存在性，主要結論如下： 定理3.4.2.設條件(D1)，(D2)成立，且假設(D3)limu→0f(t