幾類(lèi)二階非線(xiàn)性差分方程邊值問(wèn)題正解的存在性.pdf

1、差分方程邊值問(wèn)題正解存在性理論是微分方程理論中一個(gè)十分重要的分支，它具有非常深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型，近年來(lái)，這一理論在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視，有大批學(xué)者從事于這方面的理論研究，取得了一系列較好的結(jié)果，研究差分方程邊值問(wèn)題正解的存在性，有較好的發(fā)展前景，并且有較高的實(shí)用價(jià)值.差分方程邊值問(wèn)題正解的存在性也是差分方程解的重要性態(tài)之一.隨著自然科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的不斷發(fā)展，在許多應(yīng)用問(wèn)題中均出現(xiàn)了差分方程邊值問(wèn)題解的的存在性理

2、論的應(yīng)用.特別是近幾十年，微分方程解差分方程邊值問(wèn)題正解的存在性的研究發(fā)展得相當(dāng)迅速，其中以二階非線(xiàn)性差分方程最受人們的關(guān)注，因此也被研究得比較深入和廣泛，無(wú)論是從方程的類(lèi)型上還是從研究的方法上均有長(zhǎng)足的發(fā)展. 本文利用錐壓縮拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理，函數(shù)的單調(diào)性對(duì)幾類(lèi)二階非線(xiàn)性差分方程進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，得到一些新的結(jié)果. 根據(jù)內(nèi)容本論文分為以下五章： 第一章概述本論文研究的主要問(wèn)題. 第二章在這一章中，我們主要

3、研究如下p—Laplacian差分方程 △[φp(△u(t-1))]+f(t，u(t))=0，t∈[1，T+1](2.1.1)在邊值條件△u(0)=u(T+2)=0(2.1.2)下的正解的存在性，主要通過(guò)Krasnoselskii's錐壓縮和拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理得到上述方程及邊值問(wèn)題至少存在一個(gè)正解的結(jié)論. 這里φp(s)是p—Laplacian算子，即φp(s)=｜s｜p—2s，p>1，(φp)-1=φq，1/p+1/q=1

4、；f是([1，T+1]，R)→R+上的連續(xù)函數(shù). 第三章在這一章中，我們主要研究如下的差分方程 △[φp(△u(t-1))+a(t)f(u(t))=0，t∈[1，T+1](3.1.1)滿(mǎn)足邊值條件 u(0)=△u(T+1)=0，(3.1.2) 這里R為實(shí)數(shù)，Z為整數(shù)并且R+為正實(shí)數(shù)，給定Z中整數(shù)a，b，并且a

5、(s)，φq(s)的定義同上，f：R+→R+為連續(xù)的，a(t)是定義在[1，T+1]上的正值函數(shù). 在第一節(jié)中，主要引入p(δ，d)，()P(δ，d)，p(δ，d)，以及不動(dòng)點(diǎn)定理. 在第二節(jié)中，應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理得出本文的主要結(jié)果. 第四章在這一章中，我們主要研究如下差分方程 △(φp(△u(k)))+a(k)f(k，u(k))=0，k∈{0，…N}(4.1.1)邊值條件為 △u(0)=0，u(N+

6、1)+B0(△u(l))=0(4.1.2)其中 △u(k)=u(k+1)—u(k).這章我們將得到方程(4.1.1)在邊值條件(4.1.2)下的正解存在性.并且給出以下假設(shè)(H1)f是([0，N]，R)→R+上的連續(xù)函數(shù).(H2){a(k)}是一個(gè)正數(shù)列.(H3)φp(s)，φq(s)的定義同上，N是一個(gè)正整數(shù)，l∈{0，1，…n+1}.是一個(gè)常數(shù).(H4) B0：R→R是連續(xù)的并且滿(mǎn)足存在β≥α≥0，使得α(x)≤B0(x)≤

7、β(x)x∈R+.序列{u(0)，u(1)，…u(N+2)}稱(chēng)作邊值問(wèn)題(4.1.1)—(4.1.2)的解，如果對(duì)于k∈{0，…N}滿(mǎn)足方程和邊值條件(4.1.2)，并且u(k)>0，k∈{1…，N+1). 在第一節(jié)中，我們介紹Banach空間中的一些定義和一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理， 在第二節(jié)中，應(yīng)用第一節(jié)給出的不動(dòng)點(diǎn)定理得出本文的主要結(jié)果. 第五章在這一章中，我們主要研究如下差分方程的邊值問(wèn)題正解的存在性，其中