非局部型色散波方程的散射理論.pdf

1、在本文中，主要介紹作者攻讀博士學(xué)位期間，對具有Hartree型非線性項的色散波方程散射理論研究的一些結(jié)果.
　　在第一章，我們主要介紹該研究方向涉及到的、與本論文有關(guān)的一些概念、工具、方法以及研究的現(xiàn)狀和進(jìn)展，特別是解決本論文主要困難的基本思想和理念.分九個專題:色散波方程的概念、色散與Strichartz估計、對稱與守恒律、臨界與scaling分析、散射理論的概念、Morawetz型估計、方程的迭代結(jié)構(gòu)、有限傳播速度與因果律、緊

2、性及其刻畫.
　　在第二章，主要研究當(dāng)空間維數(shù)d≥3時，Klein-Gordon-Hartree方程徑向解的衰減估計.我們得到的衰減估計對所有H1臨界及次臨界情形均成立，即0＜γ≤4，γ＜d，其中Hartree型非線性項(V*|u|2)u中的位勢V(x)=|x|-γ.這是通常的指標(biāo)范圍2＜γ≤4，γ＜d的拓展.作為衰減估計的直接結(jié)果，方程的散射理論在2＜γ≤4，γ＜d時成立.次臨界情形證明利用反證法，假設(shè)衰減估計不成立，利用緊性構(gòu)

3、造和Gagliardo-Nirenberg不等式可以得到廣義質(zhì)量聚集的解序列.采用Ginibre-Velo處理Hartree方程的思想，我們首先建立一個Morawetz估計，并將其轉(zhuǎn)化為有用的形式.利用這個Morawetz估計來排除這種質(zhì)量聚集效應(yīng)，最后得到衰減估計.對于臨界情形，受Nakanishi處理局部型非線性Klein-Gordon方程思想的啟發(fā)，利用Hartree型非線性項的對稱性，我們開發(fā)源于線性部分的Morawetz估計，

4、利用柱坐標(biāo)徑向和圓向上的Lesbegue空間分析、流形Sn-1上的Sobolev嵌入定理等工具建立了不依賴于非線性項的Morawetz估計，得到了徑向臨界情形的散射理論.
　　在第三章，我們研究一般初值、能量次臨界Klein-Gordon-Hartree方程的散射理論.首先，經(jīng)典的有限傳播速度——光錐上的能量單調(diào)性質(zhì)被卷積型非線性項破壞，我們建立了非局部型的Klein-Gordon方程的一個基本性質(zhì)——因果律，這個性質(zhì)能被看做是經(jīng)

5、典有限傳播速度的替代，同時也拓廣了Menzala-Strauss[39]的結(jié)果.眾所周知，在非線性增長接近能量臨界指標(biāo)時，Klein-Gordon方程的散射理論要比Schr(o)dinger方程復(fù)雜.事實(shí)證明，這主要是因?yàn)镵lein-Gordon方程解的高頻部分色散衰減較差.我們利用頻率分解來區(qū)分Klein-Gordon方程解的高低頻本質(zhì)不同的色散效應(yīng)，利用高頻質(zhì)量的小性來克服高頻色散較差的缺點(diǎn)，挖掘局部時間衰減隱含著局部時空有界的事實(shí)

6、，利用時間正則性換取空間正則性，最終得到了適當(dāng)位勢假設(shè)條件下的Klein-Gordon-Hartree方程的時間衰減估計.這個結(jié)果包含了特殊的位勢|x|-γ，2＜γ＜min(4，n)，其覆蓋了所有次臨界情形.進(jìn)而，通過開發(fā)Klein-Gordon方程的Strichartz容許簇選取的靈活性，我們建立了次臨界情形的波算子存在性和漸進(jìn)完備性，即散射理論.該論文的方法對局部型非線性項也是適用的，這拓廣了Brenner的結(jié)果到所有次臨界情形，也

7、避免了使用Ginibre-Velo引入的（時間上）的Birman-Solomjak空間技巧，簡化了證明.
　　第四章在空間維數(shù)(n≥5)下研究帶有調(diào)和位勢的非聚焦型(defocusing)能量臨界Hartree方程在能量空間∑=H1∩F-H1的整體適定性及其散射理論.由于能量泛函中符號不一致，能量守恒不能提供有用的先驗(yàn)估計.用Galileo算子J(t)和H(t)代替i(△)和x表示能量泛函E(u(t))=‖‖J(t)u(t)‖22

8、-‖H(t)u(t)‖22+‖(V*|u(t)|2)|u(t)|2‖1，分解該能量為兩部分，利用Hartree非線性項位勢V的徑向?qū)ΨQ性得到分解能量的單調(diào)不升性質(zhì)，從而得到了有效地能量控制，彌補(bǔ)了非正定能量守恒定律的不足.Galileo算子與方程的線性算子是可交換的，我們利用Hartree型非線性項的某種對稱性建立了Galileo算子作用于該項的類似導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，這允許我們建立局部適定性.基于Bourgain和Tao的方法，我們利用一個局

9、部化的Morawetz估計得到了整體適定性理論.由于上述能量控制依賴于時間，所以不能直接得到整體時空可積性.這還需要時間衰減估計，而勢能‖(V*|u(t)|2)｜u(t)|2‖1的衰減性質(zhì)難以轉(zhuǎn)化為有用的形式.我們轉(zhuǎn)向一個源于方程的線性部分而不是非線性部分建立的衰減估計，最終完成了散射理論的證明.
　　第五章研究一類Hartree方程i(6)tu=Δu+u(V*|u|2)散射算子的實(shí)解析性，其散射理論已經(jīng)由Ginibre-Velo

10、[27]得到.Klein-Gordon方程散射算子的解析性已經(jīng)被[1][37]得到.對于Hartree方程，散射算子沒有（復(fù)）解析性，我們把方程的解分為實(shí)部虛部，把方程轉(zhuǎn)化成方程組形式，首次研究散射算子的實(shí)解析性.通過引入了二重時間截斷和二重空間截斷來分解不同的奇性和困難，充分開發(fā)和構(gòu)造緊性條件，如緊性嵌入定理、緊集的有限ε覆蓋和時空空間上的Arzala-Ascoli定理等等，我們克服了Schr(o)dinger方程因?yàn)椴痪邆銴lein

11、-Gordon方程良好性質(zhì)帶來的困難，比如有限傳播速度和色散估計中時間衰減的可積性.另外，這種方法也簡化了Kumlin[37]文中定理1.1的證明.所用工具涉及到解析隱函數(shù)存在定理、開映像定理、緊算子的Fredholm二擇一定理、時空空間上的Arzala-Ascoli定理、緊集的有限ε覆蓋、Rellich-Kondrachov緊性嵌入、Fréchet導(dǎo)數(shù)的概念、時空導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換、Gronwall不等式、Cantor對角化過程和緊算子逼近定