度量數(shù)論中若干分形集.pdf

1、本文主要討論了使用Luroth展式逼近實數(shù)的效率問題,無窮迭代函數(shù)系中數(shù)字的增長速度,以及1的β-展式的性質.我們得到了其中出現(xiàn)的一些分形集的Hausdorff維數(shù).
　　在第一章介紹本文的背景,第二章給出預備知識的基礎上,用了三章內容分別對上述三方面的問題展開了詳細的論述.
　　在第三章,我們考慮使用Luroth展式的逼近因子來逼近實數(shù)的效率問題,我們發(fā)現(xiàn)Luroth展式逼近因子無窮次成為最佳逼近的點集是一個Lebesgu

2、e零測集,不過該集合的Hausdorff維數(shù)是嚴格大于0的,我們給出了一個下界的估計.同時,我們還證明了類似Jarnik定理的結果,說明了將其中的連分數(shù)展式逼近因子換成Luroth展式逼近因子相應集合的Hausdorff維數(shù)減半.
　　在第四章,我們將連分數(shù)展式部分商的概念推廣到無窮迭代函數(shù)系中,稱之為數(shù)字.我們考慮一類無窮迭代函數(shù)系中數(shù)字的增長速度,將Wang和Wu以及Luczak關于連分數(shù)的結果推廣到一類無窮迭代函數(shù)系上.具體

3、的,對于自然數(shù)的任意無限子集B,我們給出了數(shù)字限定在B中并趨于無窮的點所構成集合的Hausdorff維數(shù).對于任意的a,b>1,給出了數(shù)字滿足an(x)>abn對任意的n成立以及對無窮多個n成立的點構成集合的Hausdorff維數(shù)上界,并說明在給定條件下,是沒有一致的下界的.在上述兩個維數(shù)結論中,無窮迭代函數(shù)系的壓縮比構成級數(shù)的收斂指數(shù)起了關鍵的作用.此外,我們證明了對滿足條件的無窮迭代函數(shù)系,任意的趨于無窮的函數(shù)φ(n),都可以找到自

4、然數(shù)集的無窮子集B∈N,使得限定在此子集上收斂指數(shù)不變,但是數(shù)字限定在B中并且滿足an(x)>φ(n)對任意的n成立的點構成集合的Hausdorff維數(shù)為0.從而說明了第一個結果的最佳性.同時我們還證明了,對任意的實數(shù)s0∈[0,1]和趨于無窮的函數(shù)φ(n),都存在一個無窮迭代函數(shù)系,收斂指數(shù)為s0,但是an(x)>?(n)對任意的n成立的點構成集合的Hausdorff維數(shù)為0.
　　在第五章,我們考慮1的β展式的性質,證明了對于