幾類算子在一些函數(shù)空間上的估計.pdf

1、算子的有界性是調(diào)和分析以及偏微分方程中一類非常重要的問題。很多問題都與其密切相關，如Fourier級數(shù)的收斂性、偏微分方程解的適定性等。本文主要是研究幾類算子在一些函數(shù)空間上的估計，共分為五章。
　　 第一章主要研究的是分數(shù)次積分算子Iα及雙線性分數(shù)次積分算子Bα在?？臻gM，q(Rn)上的有界性。眾所周知，在經(jīng)典的Lebesgue空間Lp(Rn)上，很多算子都不是有界的，于是我們就用其他的函數(shù)空間來替代它。其中比較重要的一個就是

2、模空間Mp，q(Rn)，它的定義將在本章第二節(jié)給出。近些年來，?？臻g及其應用吸引了很多人的關注，讀者可以參見文獻[7、19、60、61、63、64、66]。特別是在最近的研究工作中，我們得知幺模Fourier乘子算子Sβ(t)=eit|△|β/2在Mp，q(Rn)上是有界的，這里的p，g∈[1，∞]，可見文獻[5、9、10、11、12、45]。而Sβ(t)=eit|△|β/2的象征為eit|ξ|β（β＞0，t∈R），它在調(diào)和分析以及偏微

3、分方程中都有非常重要的作用。我們知道S1(t)、S2(t)、S3(t)分別與波方程、Schr(o)dinger方程、Airy方程有著密切關聯(lián)。一般情況下，除p=2外，Sβ(t)=eit|△|β/2在任何Lp(Rn)空間上都是無界的。因此，在研究Sβ(t)的有界性時，?？臻g便是Lp(Rn)空間的一個很好的替代。有了這些研究工作之后，很自然地就會想到去研究除Sβ(t)之外的其他算子是否在?？臻g上具有與其在Lebesgue空間Lp(Rn)上不

4、同的有界性性質。本章討論的一個重要算子就是分數(shù)次積分算子Iα。
　　 第二章主要研究的是三類求和平均算子即Poisson求和PN、Gauss求和GN、Bochner-Riesz求和B(∞)以及它們的極大算子P*、G*、B在TriebelLizorkin空間(o)(Rn)(0＜p≤1)上的有界性。
　　 第三章主要研究的是Hausdorff算子Hφ在局部Hardy空間hi(R)、TriebelLizorkin空間F(R)(

5、0＜p≤1)、?？臻gM，q(R)三類函數(shù)空間上的有界性。給定一個定義在(0，∞)的函數(shù)φ，Hausdorff算子定義為當φ(ξ)=α(1-ξ)α-1X(0，i)(ξ)時，Hφ就是所謂的α階Cesàro算子Cα。
　　 對于離散的級數(shù)求和形式，早在上世紀20年代末，Hardy證明了如果∑=0ancosnx是一個Lp(0，π)(1≤p≤∞)函數(shù)的Fourier級數(shù)，則∑=0（Ta）ncosnx也是，其中(Ta)0=a0，(Ta)n=

6、，并且對正弦級數(shù)也有同樣的結論，具體可參見文獻[30]。在文獻[34]中，Kinukawa和Igari證明了如果∑=1bnsinnx是一個Fourier級數(shù)，則共軛級數(shù)∑=1（Tb）ncosnx也是一個Fourier級數(shù)。Siskakis在文獻[55]中得到了在單位圓盤Hardy空間H1(D)上的估計，設f=∑=0akzk，則算子C*f(z)=∑=0[(n+1)-1∑=0ak]z在H1(D)上是有界的。對實直線上的情形，Goldberg

7、研究了當1≤p≤2時，算子Hφ在Lebesgue空間Lp(R)上的作用性質([26])。在文獻[23]中，Georgakis討論了Hφ作用在夏有界Borel測度上的Fourier解析性質，作為一個特例，他證明了當φ∈L1(R)時，Hφ是L1(R)上的有界算子。最近幾十年，人們主要關注的是Hausdorff算子在Hardy空間上的有界性。為了敘述方便，我們先定義兩個數(shù)：顯然，若Aφ,p＜∞，則Hφ是Lp(R)上的有界算子。不僅如此，在文獻

8、[39]中，Liflyand和Móricz得到了如下定理。
　　 第四章主要研究的是極大函數(shù)Mω(|f|p)()和Mf在加權OrliczMorrey空間上的有界性，同時也給出了極大函數(shù)Mω(|f|p)(?)在其上有界的必要條件。我們知道Orlicz空間是Lp(Rn)空間一種重要的推廣，其作用體現(xiàn)在刻畫Hardy-Littlewood極大函數(shù)在L1（Rn）附近的有界性[15、35、36]。在文獻[46]中，Morrey首先引入了M

9、orrey空間來估計偏微分方程的解，后來Chiarenza、Nakai等人考慮了Hardy-Littlewood極大函數(shù)在其上的有界性[14、47、49]。最近，Nakai引入Orlicz-Morrey空間作為Orlicz空間和Morrey空間的統(tǒng)一體，同時給出了Hardy-Littlewood極大函數(shù)在其上有界的充要條件。
　　 第五章主要研究的是Dirac算子H零模和零共振的一些性質。我們先給出Dirac算子的定義。記三個2