非線性Schrǒdinger方程中一些問題的研究.pdf

1、本文中，我們主要討論關(guān)于非線性Schr(o)dinger方程適定性、穩(wěn)定性以及局部光滑性的一些問題。
　　 首先我們討論了冪次型和Hartree型混合的非線性Schr(o)dinger方程，研究在兩個(gè)非線性項(xiàng)的相互作用和影響下，非線性Schr(o)dinger方程解的局部存在性、整體存在性、散射性質(zhì)以及解的破裂問題，獲得了一個(gè)相對(duì)全面的結(jié)論。特別是利用高低頻分解和已有的穩(wěn)定性結(jié)果解決了能量臨界和質(zhì)量臨界混合的情形。
　　

2、 其次，我們研究了在分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Hs(0＜s＜1)中冪次型Schr(o)dinger方程的解對(duì)初值的連續(xù)依賴性問題．連續(xù)依賴性是適定性理論中的一個(gè)基本問題，現(xiàn)有的我們所關(guān)心問題的結(jié)論是Cazenave等在二十多年前得到的，但并不是Hadamard意義下的連續(xù)依賴（即，解收斂的Sobolev空間都會(huì)有正則性的損失）。我們通過證明Besov空間中一種非線性疊加性質(zhì)以及解在某些Lp空間中的收斂性得到了臨界與次臨界情形的Hadama

3、rd意義下的連續(xù)依賴性。并且說明了方程的流在何種情況下是局部Lipschitz連續(xù)的，在何種情況下是局部H(o)lder連續(xù)的。對(duì)于1＜s＜min{2，(N/2)}情形，我們不僅彌補(bǔ)了Pecher在97年所得結(jié)論證明過程中的缺陷，而且還證明了相關(guān)的連續(xù)依賴性問題.
　　 除了連續(xù)依賴性，我們還得到了帶調(diào)和位勢(shì)的Schr(o)dinger萬程的局部光滑性效果．我們利用解在時(shí)間趨向于無窮大時(shí)的漸近性態(tài)以及一些特殊的光滑函數(shù)得到了我們

4、所討論方程的局部光滑性效果，并且如同自由Schr(o)dinger方程的現(xiàn)有結(jié)論一樣，我們的局部光滑性效果也具有一致的上界和下界。自由Schr(o)dinger方程作為帶調(diào)和位勢(shì)方程的特殊情況，我們的結(jié)論包含了自由Schr(o)dinger方程的已有結(jié)論，特別地，對(duì)于下界估計(jì)，我們的結(jié)論要好于Vega等人在07年得到的關(guān)于自由Schr(o)dinger方程的結(jié)論。
　　 在文章的最后，我們還研究了關(guān)于時(shí)間振蕩且能量臨界的Schr

5、(o)dinger方程的解與其對(duì)應(yīng)無振蕩臨界Schr(o)dinger方程的解之間的收斂關(guān)系。對(duì)于能量次臨界的情況，相應(yīng)的問題已經(jīng)被T.Cazenave和M. Scialom解決，我們將他們的結(jié)論推廣到了能量臨界情形．臨界情形與次臨界情形最大的不同點(diǎn)在于當(dāng)控制非線性項(xiàng)時(shí)系數(shù)不會(huì)再與時(shí)間有關(guān)，因此不能利用時(shí)間充分小來控制非線性項(xiàng)．我們利用方程自身的性質(zhì)以及構(gòu)造輔助空問的辦法，說明方程的流是局部Lipschitz的，從而利用標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性方法