一些非線性發(fā)展方程的漸近行為.pdf

1、本論文分兩大部分，第一部分研究一些耗散系統(tǒng)當時間t→∞時的解的漸近行為，包括一類時滯差分系統(tǒng)的周期解的穩(wěn)定性和吸引性．第二部分，研究一些非局部反應擴散方程當時問t→T<'*>(爆破時刻)時的解的爆破行為．全文分為六章： 第一章給出一些基本概念和一些后而要用到的結論，特別介紹了本文將要研究的模型和得到的一些主要結果． 第二章，考慮如下的三次復Swift-Hohenberg方程(CSHE)： u<,t>=δu-β△u

2、-γ△<'2>U-μ|U|<'2>U (0.0.1)主要目的在于處理(0.0.1)在Banach空間X<'α>“內的解的漸近性質，這里的基本空間是X=L<'p>,1局部解，然后證明它能唯一地延拓到整個正半軸[0，+∞]，得到解的整體存在性的同時得到整體吸引子的存在性，最后，證明了(0.0.1)在X<'α>空問指數(shù)吸引子的存在性，同時得到整體吸引子的分形維數(shù)的上界估計．當空間

3、為Hilbert空間時，我們常通過擠壓性質得到指數(shù)吸引子的存在性．在這里，由于研究的框架足在Banach空間，因此不能利用[39]中所謂的標準方法．本章運用了Efendiev，Miranville，和Zelik在[40]中的一個結果． 第三章，考慮一個所謂的完全雙曲相場系統(tǒng)： ?<,t>v+λ(χ)-∫<'∞><,0>k(σ)△v(t-σ)dσ=f,？<,t>χ+∫<'∞><,0>h(ω)w(t-σ)dσ=0， (0.

4、0.2)w=一△χ+β(χ)-λ'(χ)v． 首先通過引進兩個新的變暈，它們分別與v和χ的歷史有關，把原來的初邊值問題放到歷史空間中來討論．在Grasselli和Pata合著的文章[57]中，作者證明了重組的問題在一個適當?shù)臒o限維相空問生成一個耗散的動力系統(tǒng)，并且證明了整體吸引子的存在性．本章的目的還在于證明指數(shù)吸引子的存在性．由于記憶項的出現(xiàn)，使得該系統(tǒng)的耗散性非常弱，因此這個證明并不簡單．又由于算子“-？”(定義見第三章)

5、的點譜為空集，所以基于擠壓性質的所謂標準的應用于Hilbert空間中的方法在這里仍不能應用，仍然用和第二章一樣的方法．另一方面，由于緊嵌入不成立，利用記憶核的衰減性來克服緊性，這里所謂的“尾部函數(shù)”的估計是至關重要的． 第四章研究了對應于如下一類含時滯的反應一擴散一對流方程組的差分系統(tǒng)的周期解的漸近行為： 主要目的在于研究對應于(0.0.3)的時間周期解的穩(wěn)定性和吸引性．當反應項和邊界條件僅為局部Lipschitz連續(xù)時

6、，應用Brower不動點定理，證明了時間周期解的存在性．當反應項和邊界條件為擬單調函數(shù)時，應用單調迭代得到周期解或周期擬解的穩(wěn)定性和吸引性．最后，通過把上下解方法和Jacobi方法或Gauss-Seidel方法結合起來，我們得到了求差分方程組的數(shù)值解的組合單調迭代法，并且證明了差分方程組的解收斂于對應的微分方程組的解． 第五章，研究如下非局部的退化拋物型方程組非負解的整體存在性和非存在性. 得到臨界爆破指標．證明了如果p

7、<,c>=(p<,1>+p<,2>)(q<,1>+q<,2>)-mn<0，則每個非負解整體存在，然而，如果p<,c>>0，整體解和爆破解都有可能存在，與所取的初值有關，當p<,c>=0，如果區(qū)域允分小，則非負解整體存在，如果區(qū)域允分大，它包含了一個充分大的球，則沒有整體解存在．本章的最后，我們證明了當m=n=1，p<,1>=q<,1>=0，P<,2>q<,2>＞1時，解整體爆破，并且在區(qū)域的緊子集上，得劍一致的爆破率． 第六章，

8、考慮如下非局部退化的拋物型方程的正解u<，t>=f(u>(△u+u(x)∫<,Ω>udx)． (0.0.5)設ψ(x)為橢圓問題一△ψ(X)=l具有零Dirichlet初值條件的唯一解，μ=∫<,Ω>ψ(x)dx．我們得到：如果μ>l且∫<'∞><,δ>1/(sf(s))ds<∞，則(0.0.5)的解爆破，進一步，在一定條件下，解整體爆破；如果(i)μ≤1且∫<'∞><,0>1/f(s))ds=∞或者(ii)?！?'∞><,δ>1/(s