非線性分?jǐn)?shù)階Schr_dinger方程的高階守恒算法.pdf

1、Schr(o)dinger方程是描述物理系統(tǒng)的量子態(tài)隨時(shí)間演化的偏微分方程，是量子力學(xué)的基礎(chǔ)方程之一，在原子、分子、固體物理、核物理、化學(xué)等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用，而分?jǐn)?shù)階Schr(o)dinger方程是對(duì)經(jīng)典Schr(o)dinger方程的自然廣義化，因此，研究分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程有著重要的理論意義．
　　我們首先簡(jiǎn)單介紹了Schr(o)dinger方程以及分?jǐn)?shù)階Schr(o)dinger方程的研究現(xiàn)狀，總結(jié)和分析了學(xué)者們

2、逼近分?jǐn)?shù)階算子的方法，回顧了由加權(quán)位移Lubich差分算子導(dǎo)出的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的高階逼近格式．
　　接著，我們考慮含Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性分?jǐn)?shù)階Schr(o)dinger方程．對(duì)此方程，在空間方向，我們從Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的等價(jià)關(guān)系入手，利用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的高階逼近格式來得到前者的逼近格式；在時(shí)間方向，采用Cr

3、ank-Nicolson格式，從而得到了一種高階守恒的差分算法，并且該算法的截?cái)嗾`差為 O(τ2+h4)，其中τ和h分別為時(shí)間步長和空間步長．
　　然后，我們嚴(yán)格分析了算法的守恒性質(zhì)，包括質(zhì)量守恒和能量守恒，由質(zhì)量守恒可得格式的無條件穩(wěn)定性.利用Brouwder不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了差分格式是可解的.隨后，基于Gronwall不等式與Cauchy-Schwarz不等式，在無網(wǎng)比限制條件下，我們證得了所構(gòu)造的算法在L2-范數(shù)意義下的收斂