調(diào)和映射的存在性和熱流方程.pdf

1、調(diào)和映射是幾何分析中一類重要的研究對象．調(diào)和映射的存在性問題是幾何分析中有意義而又非常困難的問題．研究兩個流形之間的調(diào)和映射的存在性問題是研究調(diào)和映射存在性問題最重要和最有意義的方面之一．一般來講，它分為兩大類：一類是有限維黎曼流形之間的調(diào)和映射存在性；另一類是無限維流形之間的調(diào)和映射存在性．而對于有限維黎曼流形之間的調(diào)和映射存在性，我們又分為兩種情況：一種是無邊流形；另一種是帶邊流形．對于帶邊流形，如果我們根據(jù)調(diào)和映射的定義，直接運用

2、變分的技巧來解決它們之間的調(diào)和映射的存在性是不行的．這種方法只能對一些特殊的流形適用，比如S<'1>[2]．因為對于S<'1>來說，它所對應(yīng)的調(diào)和映射是閉測地線．測地線方程在TN上是一個線性的常微分方程系統(tǒng)，而對于一般的調(diào)和映射方程來說，它是一個非線性的偏微分方程系統(tǒng)．為了解決這個問題，Eells和Sampson在1964年引進了一種稱為熱流的方法[1]．它被認為是調(diào)和映射存在性理論中最基本的理論． 本文主要闡述了Eells和S

3、ampson的思想，并根據(jù)自己的理解詳細解釋了Eells和Sampson在1964對他們的定理的證明過程．文章要證明的定理如下： 定理4．1．(Eells—Sampson)設(shè)(M，g)和(N，h)是兩個緊的黎曼流形，假設(shè)(N，h)的截面曲率K<,N>是非正的，則對任意的f∈C<'∞>(M，N)，都存在一個調(diào)和映射μ<,∞>：M→N，使得f能連續(xù)形變到μ<,∞>． 文章主要分為兩部分：第一部分，文章根據(jù)調(diào)和映射的定義推導(dǎo)出

4、調(diào)和映射的方程，并列舉了兩個特殊流形之間的調(diào)和映射；第二部分，文章首先根據(jù)前面的兩個例子提出了兩個帶邊流形之間的調(diào)和映射的存在性問題，接著著重闡述了Eells和Sampson的思想——熱流法，即將調(diào)和映射的存在性問題轉(zhuǎn)化成一個非線性拋物微分方程系統(tǒng)的初值問題，并從解的存在性和收斂性兩個方面來證明該初值問題，然后，文章在假設(shè)解的存在性成立的條件下，利用WeitenbOck公式證明在證明存在性時，文章又分為兩部分： 第一部分證明局部

5、解的存在性：文章根據(jù)Nash嵌入定理[7]，將研究一個拋物型微分方程系統(tǒng)的初值問題轉(zhuǎn)化成向量值函數(shù)的初值問題．接著，運用Banach空間的逆函數(shù)定理證明了向量值函數(shù)的初值問題，從而證明了局部解的存在性． 第二部分證明整體解的存在性：文章在假設(shè)K<,N>≤0的情況下，運用Wreitzenbock公式，得到了關(guān)于調(diào)和映射方程的初值解u的估計，并運用線性拋物型偏微分方程的解的Schauder估計[6]，得到u的一致估計，從而證明整體解