擬正則映射與A調(diào)和方程很弱解的若干性質(zhì).pdf

1、擬正則映射是復(fù)變函數(shù)(或稱解析函數(shù),又稱正則函數(shù))的拓廣,其在數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)中有著比解析函數(shù)更廣泛的應(yīng)用.這里的擬正則映射就是單(或雙)特征矩陣的Beltrami方程組的廣義解.
　　 在本文第二章中從退化弱擬正則映射的定義出發(fā),得到了其Caccioppoli型估計(jì).由于Caccioppoli型不等式蘊(yùn)含了弱逆H(o)lder不等式,所以這個(gè)結(jié)果意味著自我提高的正則性結(jié)果.與傳統(tǒng)方法不同的是,本文并沒有應(yīng)用Hodge分解等

2、工具,而是利用Sobolev的逐點(diǎn)不等式以及Mcshane擴(kuò)張定理等結(jié)果來進(jìn)行推導(dǎo),從而使得證明中的計(jì)算以及指數(shù)的估計(jì)等方面相對(duì)簡(jiǎn)化.
　　 與擬正則映射理論密切相關(guān)的A-調(diào)和方程divA(x,▽u(x))=0其經(jīng)典弱解的許多性質(zhì)已經(jīng)被得到.而經(jīng)典弱解的一個(gè)很自然的推廣就是很弱解.A-調(diào)和方程很弱解的性質(zhì),尤其是正則性和存在唯一性理論在近些年開始引起人們的關(guān)注并得到廣泛的研究.
　　 在本文第三章中,我們得到了A-調(diào)和方

3、程很弱解的比較原理,即在一定條件下,A-調(diào)和方程很弱解函數(shù)u1,u2如果在其定義域Ω的邊界上滿足u1≥u2的話,則幾乎處處在區(qū)域Ω上就有u1≥u2成立.而且當(dāng)很弱解函數(shù)的可積性指數(shù)r與弱解可積指數(shù)p相同時(shí),即很弱解成為經(jīng)典弱解的時(shí)候,這個(gè)結(jié)果與經(jīng)典弱解的比較原理是一致的.同時(shí),這個(gè)結(jié)果的一個(gè)直接推論就是極值原理.
　　 在本文第四章中,我們研究的是A-調(diào)和方程相關(guān)的單障礙問題的很弱解的性質(zhì).利用Sobolev逐點(diǎn)不等式構(gòu)造出一個(gè)

4、全局Lipschitz連續(xù)的函數(shù),由它充當(dāng)很弱解定義中的試驗(yàn)函數(shù).從而利用經(jīng)典的Mcshane擴(kuò)張定理等結(jié)果,我們得到了單障礙問題很弱解的擬最小化性質(zhì),且這一結(jié)果與經(jīng)典弱解的相關(guān)結(jié)果一致.進(jìn)而我們還得到了很弱解的A-調(diào)和方程高階可積性結(jié)果.在討論齊次單障礙問題很弱解的同時(shí),也給出了與非齊次A-調(diào)和方程divA(x,▽u(x))=divF(x)相關(guān)的單障礙問題很弱解的擬最小化性質(zhì)及高階可積性結(jié)果.
　　 在本文第五章中,我們研究了