H系統(tǒng)熱流的整體存在性和部分正則性.pdf

1、本文主要研究H系統(tǒng)熱流方程弱解的整體存在性和部分正則性以及奇點(diǎn)的奇性分析。 H系統(tǒng)方程來源于微分幾何，具有悠久的歷史，它和幾何中許多重要的問題，例如極小曲面問題、Plateau問題等都有非常緊密的聯(lián)系．它和其他來源于微分幾何的方程，如調(diào)和映射方程等都是變分學(xué)所關(guān)心的主要問題．1900年，Hilbert[50]在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出的著名的23個(gè)公開問題中就有三個(gè)涉及變分問題，這充分凸顯了變分方法的重要性，也使得變分學(xué)在20世紀(jì)

2、迅速發(fā)展．變分學(xué)中一系列新方法、新理論的提出使這些來源于微分幾何的方程成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)問題，由此也得到了許多存在性和正則性的優(yōu)美結(jié)果． 本文所采用的研究方法是熱流方法，該方法是1964年Eells和Sampson[35]在研究調(diào)和映射方程時(shí)引入的．關(guān)于調(diào)和映射熱流的研究吸引了人們的注目，并取得了豐碩的研究成果． H系統(tǒng)熱流方程和調(diào)和映射熱流具有類似的非線性增長，這表明他們之間可能會(huì)有很多相似的性質(zhì)．但是兩者存在本質(zhì)的區(qū)別，調(diào)和

3、映射熱流是 Dirichlet能量的梯度流，對(duì) Dirichlet能量自然的滿足能量不等式，這表明解的Dirichlet能量是衰減的，這是得到解的全局存在性和部分正則性的關(guān)鍵所在．遺憾的是， H系統(tǒng)熱流對(duì)Dirichlet能量是否具有能量不等式還是個(gè)公開問題，這正是研究H系統(tǒng)熱流方程的難點(diǎn)所在． 關(guān)于H系統(tǒng)熱流弱解的整體存在性和部分正則性已經(jīng)有一些結(jié)果，在二維情形，1990年，O．Rey[76]在‖H‖∞‖u0‖∞＜1的假設(shè)下，

4、證明了H系統(tǒng)熱流方程全局正則解的存在性．2002年，對(duì)一般 u0∈H1(Ω)，χ∈H3/2(()Ω)的初邊值，Chela-Levine[24]證明了方程直到第一次爆破時(shí)間前存在唯一正則解，在方程的解滿足一個(gè)強(qiáng)制性假設(shè)，即滿足能量不等式的假設(shè)下，她們證明了方程全局弱解的存在性，這個(gè)全局解除去有限個(gè)點(diǎn)外是正則的，并討論了奇點(diǎn)處的bubble現(xiàn)象．對(duì)于高維情形結(jié)果還非常的少． 本文主要在以下幾個(gè)方面發(fā)展了前人的結(jié)果： (1)在

5、二維情形，我們?nèi)サ袅薈hen-Levine[24]中關(guān)于解滿足Dirichlet能量不等式的假設(shè)，給出了Dirichlet能量的一個(gè)和時(shí)間有關(guān)的估計(jì)，用經(jīng)典的脫靴方法，證明了對(duì)任意的時(shí)間，H系統(tǒng)熱流方程弱解存在且唯一，并且這個(gè)弱解對(duì)任意的有限時(shí)間最多只有有限個(gè)奇點(diǎn)． (2)在二維情形的有限奇性時(shí)刻，我們證明了bubble現(xiàn)象只能產(chǎn)生在區(qū)域的內(nèi)部．同時(shí)給出了H系統(tǒng)熱流方程存在有限時(shí)刻爆破的例子，說明在某些特殊情況下，方程存在有限時(shí)

6、刻爆破． (3)得到了二維情形有限時(shí)刻處奇點(diǎn)的精確結(jié)構(gòu)，證明了有限時(shí)刻的能量等式，表明爆破前的能量等于爆破之后弱解的能量與產(chǎn)生的bubble的能量之和．在這一點(diǎn)上， Chen—Levine[24]只得到了一個(gè)不等式． (4)對(duì)高維H系統(tǒng)熱流，當(dāng)邊界值χ∈C2+α((Ω))時(shí)，在‖H‖∞‖u0‖∞＜1的假設(shè)下，或者在‖H‖∞‖u0‖∞≤1并且初值u0具有充分小能量的假設(shè)下，我們都可以證明H系統(tǒng)熱流方程存在一個(gè)全局正則解．當(dāng)

7、方程的解滿足能量不等式時(shí)，我們也證明方程存在一個(gè)全局弱解，這個(gè)弱解除去有限個(gè)奇點(diǎn)外是正則的，在這些奇點(diǎn)處有和二維問題相似的bubble現(xiàn)象(集中現(xiàn)象)，并且在每個(gè)奇點(diǎn)上只有有限個(gè)bubble． 全文共分四章． 第一章介紹了H系統(tǒng)方程和H系統(tǒng)熱流來源和背景． 第二章介紹了相關(guān)的定義和性質(zhì)． 第三章研究了二維H系統(tǒng)熱流弱解的整體存在性和部分正則性．在分析能量集中的過程中，我們所采用了Lin—Wang[59]在