φ-Laplace方程解的存在性和多解性.pdf

1、近年來，含有非線性算子的微分方程越來越受到人們的關(guān)注，且在各類邊值問題解的存在性和多解性方面獲得了一系列有意義的研究結(jié)果.在一些文章中，人們研究了p-Laplace算子這類非線性算子，也即φp(s)=|s|p-2s，p＞1.（參見文獻[16]-[34]）.在另外的一些文章中人們研究了作為p-Laplace算子的推廣，φ-Laplace算子.(參見文獻[12]-[15]).在上述文獻中作者分別運用拓撲度理論，Leggett-William

2、s定理等工具對含有p-Laplace算子和φ-Laplace算子的微分方程的各類邊值問題進行了研究，獲得了許多有關(guān)解的存在性及多解性的結(jié)果.對本文有所啟發(fā)值得指出的是文[5]，[6],[8],[9]，[13].
　　文[5]中對含有p-Laplace算子的三階Sturm-Liouville邊值問題運用不動點指數(shù)的方法，得到了方程存在一個正解，兩個正解的結(jié)果.在本文第一章，運用文[5]的方法進一步研究如下帶有φ-Laplace算子的

3、三階常微分方程邊值問題:｛(φ(-u"(t)+λu(t)))'=f(t,u(t)),t∈[0,1],(1.1.1)u(0)=u(1)=0，u"(0)=0.其中λ≥0，φ，f滿足以下條件:
　　(A1) f:[0,1]×R→R+連續(xù)，這里R+=[0，∞）;
　　(A2)φ:(-r，r)→R是遞增的同胚的奇函數(shù)，φ(0)=0.
　　運用類似文[5]的方法將微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為算子方程，分別得到如下主要結(jié)果:
　　定

4、理1.3.2設(shè)(A1)，(A2)成立，令b，c＞0且b＜min{m/l,σ}c，其中的c使得φ(mc)＞4φ(lb)，mc＜r,0＜σ＜1.若f滿足下列條件:
　　(H1)f(t,x)≥4φ(lb),(t,x)∈[1/4,3/4]×[b,b/σ];
　　(H2)f(t,x)≤φ(mc),(t，x)∈[0,1]×[0,c].其中l(wèi)=2/σ(∫3/41/2G(1/2,s)ds)-1, m=(∫10G(s,s)ds)-1.則問題(

5、1.1.1)至少存在一個正解u*，且‖u*‖≤c,min t∈[1/4,3/4] u*(t)＞b.
　　定理1.3.3設(shè)條件(A1)，(A2)成立，若f滿足下列條件:
　　(H3) f0=f∞=∞;
　　(H4)存在ρ＞0，使得f(t，x)＜φ(mρ)，t∈[0，1]，x∈[0，ρ].其中m同(H2)中，l同(H1)中，f0=lim x→0+ min t∈[0,1] f(t,x)/φ(lx)，f∞=lim x→+∞ m

6、in t∈[0,1]f(t,x)/φ(lx).則問題(1.1.1)至少存在兩個正解u1，u2，且有0＜‖u1‖＜ρ＜‖u2‖.
　　文[13]中運用Leray-Schauder度理論對φ-Laplace方程邊值問題進行研究，獲得了解的存在性的結(jié)果;文[6]運用Avery-Peterson不動點定理對p-Laplace方程邊值問題進行研究，獲得了存在多個正解的結(jié)果.受文[13]，文[6]的啟發(fā)，本文第二章中進一步研究如下φ-lapl

7、ace方程邊值問題:｛（φ(u'(t)))'+ f(t,u(t),u'（t））=0,t∈[0,1],(2.1.1)u'(0)=0，u(1)-g(u'(1))=0.其中φ，f，g滿足以下條件:
　　(B1) f:[0,1]×R×R→R+連續(xù)，這里R+=[0，∞）;
　　(B2)φ:(-d,d)→R是遞增的同胚的奇函數(shù)，φ(0)=0;
　　(B3)g:R→R+連續(xù)，且對某個k≥1，有g(shù)（v）≤k|v|，v∈R.
　　

8、得到如下結(jié)果:
　　定理2.3.1設(shè)(B1)，(B2)，(B3)成立，令0＜a＜b≤δd/(k+1)，其中δ∈(0，1/2).若f滿足下列條件:
　　(H5) f(t，u，v)≤φ(d/2)，（t，u，v）∈[0，1]×[0，(k+1)d]×[-d，0];
　　(H6) f(t，u，v)＞φ(b/δ)/(1-δ)，(t,u,v)∈[0,1-δ]×[b,b/δ]×[-d,0];
　　(H7)f(t,u,v)＜φ（a