Calabi-Yau代數(shù)的擴張和形變.pdf

1、這是一篇關于Calabi-Yau代數(shù)的擴張與形變的博士學位論文.自從數(shù)學家丘成桐(Yau Shing-Tung)證明Calabi猜想后，Calabi-Yau流形成為數(shù)學(主要是微分幾何)和理論物理主要的研究對象.在上世紀九十年代，數(shù)學家M.Kontsevich提出同調鏡像對稱猜想.此后，Calabi-Yau范疇和Calabi-Yau代數(shù)更多的出現(xiàn)在代數(shù)幾何，代數(shù)拓撲，非交換幾何，超弦理論等數(shù)學和物理的許多分支中，并日益顯示出其重要價值.

2、本文主要研究Calabi-Yau代數(shù)的形變和擴張，包含以下三個方面的內容。
　　1.利用分次代數(shù)的分次自同構的同調行列式(見[JoZ]或本文第三章第一節(jié))，我們考察了分次Calabi-Yau代數(shù)的斜群代數(shù)的Calabi-Yau性質.主要證明了對p-Koszul Calabi-Yau代數(shù)A及其自同構群的有限子群G，斜群代數(shù)A＃G是Calabi-Yau代數(shù)當且僅當群G中元素的同調行列式均等于1.這個結果是特殊線性群的有限子群在多項式代

3、數(shù)作用得到的斜群代數(shù)是Calabi-Yau代數(shù)的推廣。
　　利用p-Koszul代數(shù)的Yoneda Ext代數(shù)上的A∞-代數(shù)結構，證明了任意p-KoszulCalabi-Yau代數(shù)均由超勢誘導.并在此基礎上構造了斜群代數(shù)A＃G的超勢.推廣了[BSW]中關于Koszul Calabi-Yau代數(shù)以及多項式代數(shù)的斜群代數(shù)的結果。
　　2.更一般地，如果Hopf代數(shù)在Calabi-Yau代數(shù)上有一個作用，我們討論了由此得到的sma

4、sh積的Calabi-Yau性質.利用Hopf代數(shù)在Artin-Schelter Gorenstein代數(shù)上的作用的同調行列式的概念(見[JoZ]或本文第四章第一節(jié))，將以上關于斜群代數(shù)的結果推廣到沖積的情況，證明了以下結果：
　　設H是對合的Calabi-Yau Hopf代數(shù)，A是p-Koszul Calabi-Yau代數(shù)并且是左H-模代數(shù).則A＃H是Calalbi-Yau代數(shù)當且僅當H在A上的作用的同調行列式是平凡的.并且構造

5、了當H是半單Hopf代數(shù)時，Calabi-Yau代數(shù)A＃H的超勢。
　　3.最后，我們討論以下兩類問題
　　(1)Koszul Calabi-Yau代數(shù)的中心正則擴張的Calabi-Yau性質；
　　(2)Koszul Calabi-Yau代數(shù)PBW形變的Calabi-Yau性質。
　　利用Rees代數(shù)的方法以及中心正則擴張和PBw形變之間的關系[CS]，我們得到了Koszul Calabi-Yau代數(shù)的PBW形