有限P-群的中心自同構(gòu)群.pdf

1、設(shè)G為有限群，M和N均為G的正規(guī)子群，本文用CAutG(G/M，N)表示G的既中心化G/M又中心化N的全部自同構(gòu)所構(gòu)成的群.在自同構(gòu)群的研究中，一個(gè)基本而重要的問題是確定CAutG(G/M，N)的結(jié)構(gòu).2007年Attar證明了:如果G為有限非交換p-群，則CAutG(G/Z(G),Z(G))=Inn G當(dāng)且僅當(dāng)G的冪零類為2且Z(G)是循環(huán)群.2008年Yadav將其推廣為:
　　如果G是有限非交換p-群且M是G的一個(gè)中心子群，

2、則CAutG(G/M，Z(G))=Inn G當(dāng)且僅當(dāng)G的冪零類為2，G'≤M且M是循環(huán)群.
　　注意到G的內(nèi)自同構(gòu)群InnG同構(gòu)于商群G/Z(G)，故上述兩個(gè)定理本質(zhì)上給出了當(dāng)M或N為特殊子群時(shí)CAutG(G/M，N)的結(jié)構(gòu)描述.本文在更為一般的條件下確定了CAutG(G/M，N)的結(jié)構(gòu)，所得結(jié)果推廣了Attar和Yadav定理.本文中的主要結(jié)論如下:
　　定理1.設(shè)G為任意有限群，M和N均為G的正規(guī)子群且M≤Z(N)，則C

3、AutG(G/M，N)(≌)Der(G/N，M).其中Der(G/N，M)表示從G/N到M的所有導(dǎo)子構(gòu)成的交換群.
　　從定理1出發(fā)可推導(dǎo)出以下有用的結(jié)論.
　　推論1.設(shè)G為任意有限群，M，N均為G的正規(guī)子群且M≤N∩Z(G)，則CAutG(G/M，N)(≌)Hom(G/N，M).
　　應(yīng)用推論1證明了本文的第二個(gè)主要結(jié)果.
　　定理2.設(shè)G為有限p-群，M，N均為G的正規(guī)子群且M≤N∩Z(G)，則CAutG(

4、G/M，N)(≌)G/N的充要條件是G'≤N，M為循環(huán)群，且exp(G/N)≤expM.
　　使用定理2即可推出Attar和Yadav定理.
　　推論2.如果G為有限非交換p-群，則CAutG(G/Z(G),Z(G))=InnG當(dāng)且僅當(dāng)G的冪零類為2且Z(G)是循環(huán)群.
　　推論3.如果G是有限非交換p-群且M是G的一個(gè)中心子群，則CAutG(G/M，Z(G))=InnG當(dāng)且僅當(dāng)G的冪零類為2，G'≤M且M是循環(huán)群.<