幾類奇異積分算子的性質(zhì)及應(yīng)用.pdf

1、1878年，W.K.Clifford將高維空間中的幾何與代數(shù)結(jié)合起來，引入了幾何代數(shù)，后人以他的名字命名為Clifford代數(shù).Clifford代數(shù)是一個可以結(jié)合但不可交換的代數(shù)，Clifford分析這個數(shù)學分支就是在Clifford代數(shù)An(R)上進行經(jīng)典的函數(shù)理論分析，例如：研究正則函數(shù)，超正則函數(shù)以及k-超正則函數(shù)的基本性質(zhì)；研究Cauchy型奇異積分算子的性質(zhì)；研究各種邊值問題等等.Clifford分析是實分析和復(fù)分析的自然推廣

2、.當n=0時，Clifford分析就是實分析；當n=1時，Clifford分析就是單復(fù)分析；當n=2時，Clifford分析就是四元數(shù)分析.因此Clifford分析是一個活躍的數(shù)學分支，它在許多數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)都具有重要的理論和應(yīng)用價值.
　　 在經(jīng)典的函數(shù)理論分析中，研究Cauchy型積分的性質(zhì)是非常重要的，它是解決各類邊值問題的基本工具之一.Cauchy型積分是一類奇異積分，它在偏微分方程理論，奇異積分方程理論以及廣義函數(shù)理論中有

3、著廣泛的應(yīng)用.尤其是在偏微分方程和奇異積分方程的邊值問題中，應(yīng)用Cauchy型積分這個工具可以使得偏微分方程和奇異積分方程的處理顯得特別地簡練.Cauchy型積分算子的換序問題在奇異積分算子的正則化和奇異積分算子的合成中起著至關(guān)重要的作用.有了Cauchy型積分算子的換序公式，我們就可以解決閉光滑流形上具有B-M核的奇異積分方程的各種邊值問題.因此Cauchy型積分算子的換序問題是解決許多問題的核心.在單復(fù)分析及多復(fù)分析中，Cauchy

4、型積分算子的性質(zhì)和換序問題解決得很徹底并且廣泛地應(yīng)用于彈性力學，流體力學以及高維奇異積分和積分方程中.但是在Clifford分析中，由于Clifford代數(shù)的不可交換性，有著同樣重要性的Cauchy型積分算子的性質(zhì)和換序問題卻沒有得到徹底解決.這給Cauchy型積分算子的合成和正則化帶來了很大的挑戰(zhàn)，從而影響了Clifford分析中積分方程和偏微分方程邊值問題的發(fā)展.
　　 1998年，黃沙證明了Clifford分析中Cauch

5、y型積分的P-B(Poincare-Bertrand)置換公式，得到了很好的結(jié)論.在黃沙工作的基礎(chǔ)上，本文另辟蹊徑，給出了Clifford分析中累次奇異積分算子在Cauchy主值意義下更具體的一種新定義.然后利用Cauchy型奇異積分算子的性質(zhì)證明了幾個比較簡單的情況下的兩個奇異積分算子的換序公式.接下來又證明了一個關(guān)于被積表達式的不等式，即Clifford分析中的函數(shù)和微元乘積的不等式.這個不等式在本文中有著重要的意義.最后再利用此不

6、等式和前面的結(jié)果證明了Clifford分析中關(guān)于一元函數(shù)及二元函數(shù)的Cauchy型奇異積分算子的P-B(Poincaré-Bertrand)置換公式.
　　 另外，本文還研究了一類Rn空間中的高階奇異Teodorescu算子.通過這類高階奇異算子，我們可以得到非齊次Dirac方程的解的積分表達式，從而可以解決許多邊值問題.本文著重研究了這類高階奇異Teodorescu算子的有界性，H(?)lder連續(xù)性以及它的廣義微商.同時還研

7、究了它關(guān)于積分區(qū)域的邊界曲面攝動的穩(wěn)定性并給出了誤差估計.最后用這個算子給出Rn空間中的一個廣義Hn方程組的解的積分表達式.
　　 全文共包括八個部分：
　　 1.緒論.介紹了Clifford分析的歷史背景，意義和研究現(xiàn)狀，同時簡單地介紹了一下我們的工作.
　　 2.第一章.討論了Clifford分析中一個Cauchy型奇異積分算子和普通積分算子的換序問題.首先證明了Clifford分析中兩個普通積分算子在Lia

8、punov曲面上的換序公式，然后在此基礎(chǔ)上證明了Cauchy型奇異積分算子和普通積分算子的換序公式.證明過程中先證明兩個累次積分在Cauchy主值意義下是收斂的，然后將兩個累次積分分別分成兩部分N1，N2和N1*，N2*，先證明N1=N1*，再證明(?)N2-(?)N2*=0.
　　 3.第二章.研究了Clifford分析中兩個Cauchy型奇異積分算子的換序問題.先將兩個累次積分分別分解為幾個Cauchy型奇異積分算子與一個函

9、數(shù)的和，從而證明了這兩個累次積分是有意義的.然后再分別將兩個累次積分分為四個部分，第一部分是挖掉奇點后的區(qū)域上的積分，另外幾部分是帶有奇點的區(qū)域上的積分.首先證明第一部分的值相等，再證明剩下的部分的差的極限為零.
　　 4.第三章.研究了Clifford分析中一個普通積分算子和以普通積分算子的積分變量為奇點的Cauchy型奇異積分算子的換序問題.首先證明了幾個相關(guān)的奇異積分算子的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)證明了兩個累次積分是有意義的.

10、然后巧妙地將積分區(qū)域分為幾部分，從而將積分算子分成帶有奇性的部分和不帶奇性的部分.我們證明了帶有奇性的部分的極限是零，并且不帶奇性的部分相等.這樣我們就證明了普通積分算子和以普通積分算子的積分變量為奇點的Cauchy型奇異積分算子的換序公式.
　　 5.第四章.研究了Clifford分析中關(guān)于一元函數(shù)的兩個Cauchy型奇異積分算子的換序問題，其中第二個Cauchy犁奇異積分算子的奇點是第一個Cauchy型奇異積分算子的積分變量

11、.這個問題的結(jié)論與前幾章大不相同，這是因為當兩個算子換序后，會多出一個函數(shù)項，這與復(fù)分析中的結(jié)果是一致的.在證明過程中，我們首先證明了一個帶有微元的不等式.然后利用這個不等式證明了我們所討論的兩個累次奇異積分算子是有意義的.同時利用這個不等式和挖掉奇點的方法證明了換序公式，即Clifford分析中關(guān)于一元函數(shù)的Cauchy型奇異積分算子的P-B(Poincaré-Bertrand)置換公式.
　　 6.第五章.利用前面的結(jié)果討論

12、了Clifford分析中關(guān)于含有兩個高維變量的函數(shù)的Cauchy型奇異積分算子的P-B(Poincaré-Bertrand)置換公式.先給出了關(guān)于二元函數(shù)的Cauchy型奇異積分算子的定義，討論了累次奇異積分算子的收斂性.然后將累次奇異積分算子分解為幾個部分，對不同的部分利用前面的結(jié)論證明了關(guān)于二元函數(shù)的Cauchy型奇異積分算子的P-B(Poincaré-Bertrand)置換公式.
　　 7.第六章.研究了Rn空間中的一類高

13、階奇異Teodorescu算子的性質(zhì)，分為三塊內(nèi)容：
　　 (1).利用幾個不等式證明了這類算子有界性.又通過證明幾種特殊情況下這類算子的H(?)lder連續(xù)性證明了算子在整個Rn空間中的H(?)lder連續(xù)性，同時根據(jù)定義得到了它的廣義微商.
　　 (2).利用幾個重要的不等式研究了這類算子關(guān)于積分區(qū)域的邊界曲面攝動的穩(wěn)定性并給出了誤差估計.
　　 (3).利用變量替換將廣義Hn方程組轉(zhuǎn)換為一個Clifford