二階非線性攝動微分方程的振動性與漸近性.pdf

1、常微分方程解的振動性是微分方程解的重要性態(tài)之一。微分方程的振動理論的應(yīng)用背景極其廣泛，隨著自然科學和生產(chǎn)技術(shù)的不斷發(fā)展，在許多應(yīng)用問題中均出現(xiàn)了微分方程是否有振動解存在或者方程的一切解是否均為振動解的問題。眾所周知，由G．Sturm建立的二階齊次線性微分方程解的零點分布的比較理論和分離理論，為微分方程振動理論的研究奠定了基礎(chǔ)．一個半世紀以來，微分方程的振動理論已經(jīng)有了很大的發(fā)展，在微分方程定性理論及邊值問題研究中占有很重要的地位．特別是

2、近幾十年，常微分方程解的振動性研究發(fā)展得相當迅速，其中以二階微分方程最受人們的關(guān)注，因此也被研究得比較深入和廣泛，無論是從方程的類型上還是從研究的方法上均有長足的發(fā)展。 本文討論了較一般的二階非線性攝動微分方程（a（t）（）（x（t））x'（t））'+Q（t，x（t））=P（t，x（t），x'（t））（E）的振動性與漸近性，建立了方程（E）的4個新的振動性定理和3個漸近性定理。闡述了關(guān)于微分方程振動性的幾個基本概念，介紹了微分方

3、程振動性問題研究的背景、該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、各階段研究問題的思想方法和主要結(jié)論，對參考文獻進行了簡要綜述，說明了本文的主要工作。給出對方程（E）中函數(shù)a，（），P，Q的約定，為了便于分類討論，對方程（E）的所有正則解分為S+，S—，So，Swo四類；在方程（E）不具有“積分小”系數(shù)的條件下，構(gòu)造函數(shù)W（t）=a（t）（）（x（t））x'（t）/f（x（t）），t≥t1，利用廣義Riccati—變換，結(jié)合完全平方技術(shù)和分類討論的方法，建立了

4、方程（E）的2個新的振動性定理，推廣和改進了已知的一些結(jié)果：最后應(yīng)用新建立的振動性定理判定4個方程的振動性，而已知文獻中的結(jié)果不能判定這幾個方程的振動性。在方程（E）具有“積分小”系數(shù)的條件下，構(gòu)造函數(shù)W（t）=—a（t）（）（x（t））x'（t）/f（x（t））∫tt11/a（s）ds，t≥t1，利用廣義Riccati—變換和函數(shù)平均技巧，結(jié)合完全平方技術(shù)和分類討論的方法，建立了方程（E）的2個新的振動性定理，推廣和改進了已知的一些結(jié)

5、果；最后應(yīng)用新建立的振動性定理判定2個方程的振動性，已知文獻中的結(jié)果不能判定這兩個方程的振動性。討論了方程（E）非振動解的漸近性。構(gòu)造函數(shù)W（t）=p（t）a（t）（）（x（t））x'（t）/f（x（t）），t≥t1，建立了方程（E）的任意非振動解屬于下列兩種類型之一：Ac：x（t）→C≠0，t→∞，A0：x（t）→0，t→∞．的充分條件，方程（E）有Ac型非振動解x（t）的必要條件以及有A0型非振動解x（t）的必要條件，得到方程（E）