非線性二階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性及結(jié)構(gòu).pdf

1、非線性泛函分析是近幾十年來(lái)才發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新的學(xué)科，是人們?cè)谘芯酷t(yī)學(xué)、生物學(xué)、古典和現(xiàn)代物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的.非線性問(wèn)題是現(xiàn)代科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之一，非線性泛函分析為研究非線性問(wèn)題提供了理論工具.非線性泛函分析的基本方法有拓?fù)浞椒?，變分法，解析方法，半序方法和單調(diào)方法等.郭大鈞教授在文中對(duì)非線性泛函分析的幾個(gè)重要課題及其應(yīng)用，諸如某些典型的非線性算子，Hammerstein積分方程，常，偏微分方程，遷移方程，錐理論及非線性算子方程

2、的正解，非線性算子拓?fù)涠群筒粍?dòng)點(diǎn)定理及固有值，解的個(gè)數(shù)與分支，都做了系統(tǒng)的概括和總結(jié). 抽象空間常微分方程理論是近二、三十年發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，它把微分方程理論和泛函分析理論結(jié)合起來(lái)，利用泛函分析的方法來(lái)研究抽象空間的微分方程.在運(yùn)用這些方法來(lái)解決實(shí)空間中的微分方程時(shí)，經(jīng)常是將微分方程化為積分方程，并從積分方程中抽象出算子，然后通過(guò)討論算子的全連續(xù)性，求出算子的不動(dòng)點(diǎn)，從而得到原方程的解. 奇異問(wèn)題最早是在研究大

3、氣對(duì)流、天體演變及一些流動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中提出來(lái)的，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化變成了對(duì)邊值問(wèn)題{u"(t)+t-λu-m(t)=0，t∈(0，1)，u∈B(0，1)，λ，m＞0的研究，后來(lái)，研究重點(diǎn)開(kāi)始圍繞微分方程{u"(t)+f(t，u(t)，u'(t))=0，t∈(0，1)，u∈B(0，1)，所謂奇性是指函數(shù)f在某些點(diǎn)的無(wú)界性. 本文第一章考慮Banach空間中一類(lèi)比較廣泛的二階脈沖奇異邊值問(wèn)題正解的存在性及多解的存在性.該問(wèn)題源于劉衍勝教授在文[

4、4]中討論的奇異邊值問(wèn)題，本章將[4]中的函數(shù)f(t，x)變化為f(t，x，x′)基本空間由PC[J,E]變化為PC1[J,E]，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理得到了解的存在性. 第二章本文利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論了二階非線性常微分方程組耦合系統(tǒng)的奇異邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性，得到了兩個(gè)正解的結(jié)果.該問(wèn)題起源于Agarwal和O'Regan在文[26]和[27]中考慮的微分系統(tǒng)，他們利用Leray-Schauder理論研究了非線性常微分方程

5、組耦合系統(tǒng)解的存在性，本章在其基礎(chǔ)上討論了某些特定條件下奇異邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性. 第三章討論了一類(lèi)奇異邊值問(wèn)題正解的確切個(gè)數(shù)以及解的性質(zhì)，該問(wèn)題起源于由Agarwal和O'Regan[12]中提出的一個(gè)問(wèn)題，Agarwal和O'Regan[12]中證明了對(duì)于充分小的δ＞0，方程{-y"(t)-δ(y-α(t)+yβ(t)+1)=0,t∈(0,1),y(0)=y(1)=0,有一個(gè)非負(fù)解，其中0≤α＜1＜β，δ＞0是一個(gè)參數(shù).