華羅庚定理對多項式次數(shù)的依賴條件.pdf

1、本文研究華羅庚定理對多項式次數(shù)的依賴條件.對華羅庚問題的研究已經(jīng)經(jīng)歷很長的時間，研究的方法也各種各樣.本文是基于Perron公式，Page定理，Vaughan恒等式及Vinogradov方法等技術(shù)討論華羅庚定理是如何依賴于多項式次數(shù)的，從而得到了在k滿足一定條件下，華羅庚定理恒成立這一結(jié)論.即如下定理
　　定理對任意的α∈R，當(dāng)k＜＜logloglogx時，恒有
　　∑n≤xμ（n）e（nkα）＜＜x(logx)-1/2.<

2、br>　　論文共分為五個部分.第一章，我們簡要的總結(jié)了華羅庚定理的研究背景，并簡要的闡述了自己所要研究的問題.
　　第二章，我們利用華羅庚定理證明的一般做法將求和根據(jù)q的不同取值范圍分為兩種情形:A={α|α=a/q+λ，(a，q)=1，1≤q≤P，|λ|≤1/qQ}與B={α|α=a/q+λ，(a，q)=1，P＜q≤Q，|λ|≤1/qQ}.我們需要在情形A下得到命題1，在情形B下得到命題2，這樣定理1便得證了.
　　第三章

3、，研究A情形下的估計.首先，基于Perron公式，Cauchy留數(shù)定理及導(dǎo)數(shù)的定義找到∑n≤xμ(n)x（n）在A下的估計.然后，利用Page定理將問題分為兩種情形:(1)L-函數(shù)不存在例外零點情形，這時我們用代數(shù)方法及分部求和方法得到∑n≤xμ（n）e（nkα）的一個上界估計;(2)L-函數(shù)存在例外零點情形，這時我們利用特征函數(shù)的正交性，再利用分部求和方法得到∑n≤xμ(n)e(nkα)的一個較大上界估計.最后，我們將兩種情形合并，得

4、到當(dāng)k滿足一定條件時A情形下的估計.
　　第四章，研究B情形下的估計.首先利用Vaughan恒等式將μ(n)進(jìn)行分解，從而將B下求和化為(T)1，(T)2的形式.其次利用Vinogradov方法對(T)1，(T)2進(jìn)行估計，經(jīng)過分析得到它們在互補(bǔ)條件下的相同估計.最后，將B情形下的T1，T2先轉(zhuǎn)化為(T)1，(T)2的形式，再求得包含k的精確上界.
　　第五章研究k的取值范圍.基于三、四章的估計，只需要讓B情形下的估計小于等