共軛積分方程組正解的多重性.pdf

1、本文利用非線性泛函分析中的拓?fù)涠壤碚?，結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)和錐與半序方法，主要研究了三類十分重要的非線性共軛積分方程組正解的存在性與多重性，得到了新的結(jié)論，推廣了以往的一些結(jié)果. 本文共分三章，全文假設(shè)G為Rn中的有界閉區(qū)域，實(shí)的Banach空間E=C(G)中的錐P={u∈E：u(x)≥0，x∈G}.乘積空間E×E中的錐為P×P.線性積分算子B1，B2：E→E分別為(B1u)(x)=∫Gk(x，y)u(y)dy，(B2u)(x)=∫G

2、(y，x)u(y)dy，并且假設(shè)(1)； (2)B1，B2的譜半徑分別為r(B1)，r(B2)且均為正數(shù). 由假設(shè)條件易知r(B1)=r(B2)，記為λ1. 在第一章中，我們研究了非線性項(xiàng)性質(zhì)相同的Hammerstein型積分方程組(1.1)正解的存在性與多重性，即非線性項(xiàng)f和g在零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)同時(shí)滿足拉伸型條什或壓縮型條件.其中f，g∈C(G×IR'×IR'，IR'). 本章對(duì)積分方程組(1.1)的核函

3、數(shù)作下列假設(shè)： 設(shè)存在hεC(G)并且h在G中幾乎處處為正，使得k(x，y)≥h(x)k(z，y)， k(y，x)≥h(x)k(y，z)， Ax，y，z∈G. 我們通過線性積分轉(zhuǎn)置算子譜的有關(guān)性質(zhì)，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，得出了(1.1)單個(gè)或多個(gè)正解的存在性準(zhǔn)則. 假設(shè)條件為： (H1)存在p，q∈C(R+，R+)使得對(duì)x∈G一致成立. (H2)存在a，b≥0使得a+b< ，并且滿足(H3)存

4、在s，t∈C(R+，R+)使得分別對(duì)(x，v)∈G×R+與(x，u)∈G×R+一致成立. (H4)存在c，d≥0使得c+d< ，并且滿足(H5) f(x，u，v),g(x，u，v)關(guān)于u和v是非降的，并且存在N＞0使得對(duì)a.e.x∈G有則第一章的的主要結(jié)論為定理1.2.1 假設(shè)(H1)及(H2)成立，那么問題(1.1)至少有—個(gè)正解. 定理1.2.2 假設(shè)(H3)及(H4)成立，那么問題(1.1)至少有一個(gè)正解.

5、 定理1.2.3 假設(shè)(H1)，(H3)及(H5)成立，那么問題(1.1)至少有兩個(gè)正解. 在第二章中，我們研究了非線性項(xiàng)性質(zhì)相異的Hammerstein型積分方程組正解的存在性.即f1滿足超線性條件，而f2滿足次線性條件.其中f1，h1εC(R+×R+，R+)，(i=1，2). 本章對(duì)積分方程組(2.1)的核函數(shù)作下列基本假設(shè)： 設(shè)G0=G且為有界閉區(qū)域，常數(shù)α，β∈(0，1)，并且(Ⅰ)k(x，y)>0，k(

6、y，x)>0，Ax，Y∈G＼eG. (Ⅱ)k(x，少)≤k(y，y)，k(y，x)≤k(y，y)，Ax∈G，y∈G. (Ⅲ)k(x，y)≥αk(y，y)，k(y，x)≥βk(y，y)，Ax∈G0.y∈G. 我們通過計(jì)算相應(yīng)算子在卡氏錐K：xK：上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)，得出了(2.1)正解的存在性準(zhǔn)則. 則第二章的主要結(jié)論為定理2.2.1假設(shè)(H1)～(H4)成立，那么問題(2.1)至少有一個(gè)正解. 在第三

7、章中，我們利用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了可化為積分方程的非線性Hammerstein積分方程組的正解的存在性與多重性.其中f，g∈C(G×R+，R+). 本章要求積分方程組(3.1)的核函數(shù)所滿足的假設(shè)條件與積分方程組(2.1)一致.假設(shè)條件為: 則第三章的主要結(jié)論為定理3.2.1假設(shè)(H1)～(H3)成立，那么問題(3.1)至少有一個(gè)正解. 定理3.2.2假設(shè)(H1)，(H4)及(H5)成立，那么問題(3