量子（流體）方程零Debye長(zhǎng)度極限的漸近格式.pdf

1、本文主要考慮量子流體力學(xué)方程(Quantum Hydrodynamic System)擬中性極限的漸近格式,方程如下аtpλ+div(pλuλ)=0,а(pλuλ)+div(pλuλ uλ)+▽pλ+pλ▽xФλ =1/4∈2div(pλ▽2logpλ)-1/βpλuλ, （0.1)一λ2△Фλ=pλ-g(x)-1,在這個(gè)模型中有一個(gè)重要物理量:Debye長(zhǎng)度(the Debye length),它是測(cè)量電荷不平衡的單位長(zhǎng)度,我

2、們所關(guān)心的是當(dāng)Debye長(zhǎng)度趨于0的情形.目前已有許多關(guān)于此系統(tǒng)數(shù)值格式的文獻(xiàn),但或多或少都有些不足.當(dāng)我們使用顯示格式時(shí),時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)都必須足夠的小以確保格式的穩(wěn)定,所以計(jì)算量將相當(dāng)?shù)拇?通常,有兩種隱式方法：直接隱式格式和隱式動(dòng)量方法,這兩種方法也有許多相關(guān)文獻(xiàn),如文獻(xiàn)[9].然而在使用這些方法時(shí)一些區(qū)域仍然要求小的時(shí)間步長(zhǎng),因此,能夠克服小時(shí)間步長(zhǎng)的方法是極為必要的. 本文中我們將提出“漸近格式”,它對(duì)大時(shí)間和空間步

3、長(zhǎng)是穩(wěn)定的,并且在高維空間也是有效的.此外,即使此格式是隱式的,但它的計(jì)算量與顯式格式是相同的,不要大的計(jì)算量. 接下來,我們介紹一下本文的框架.本文共分為三章,其中第一章為引言,介紹相關(guān)背景以及所考慮問題的物理和數(shù)學(xué)意義.在第二章中,介紹了量子流體動(dòng)力系統(tǒng)的零Debye長(zhǎng)度漸近模型аtpλ+div(pλuλ)=0аt(pλuλ)+div(pλuλ uλ)+▽Pλ+pλ▽xФλ =∈2/4div(pλ▽2logpλ)-1

4、/βpλuλ, (0.2)▽2:(pλ uλ)+△Pλ+div(pλ▽xФλ)=∈2/4▽2:(pλ▽2logpλ). 和泊松方程等價(jià)形式的推導(dǎo)。最后得到泊松方程等價(jià)形式а2tt(-λ2△Фλ)-div(pλ▽?dǎo)鼎?-λ2/βаt(△Фλ)=▽2:(pλuλ uλ)+△Pλ-∈2/4▽2:(pλ▽2logpλ), (0.3)其中,▽2:為二階導(dǎo)數(shù)的張量積.接著我們討論了方程組аtpλ+div(pλuλ)=0,аt(pλuλ)+d

5、iv(pλuλ uλ)+▽Pλ+pλ▽xФλ =∈2/4div(pλ▽2logpλ)-1/βpλuλ, (0.4)а2tt(-λ2△Фλ)-div(pλ▽?dǎo)鼎?-λ2/β(△Фλ)=▽2:(pλuλ uλ)+△Pλ-∈2/4▽2:(pλ▽2logpλ).的時(shí)間與空間離散化,提出漸近格式pn+1k-pnk/△t+qn+1k+1-qn+1k-1/2△x=∧npnk+1-2pnk+pnk-1/△x2△x,qn+1-qnk/△t+F(U

6、nk,Unk+1)-F(Unk-1,Unk/△x+pnkФn+1k+1-Фn+1k-1/2△x=∈2/4pnk+1(logpnk+2-2logpnk+1+logpnk)-pnk(logpnk+1-2logpnk+logpnk-1)/△x3一1/qn+1k+qnk/2,2△apФn+1k-2△apФnk+△apФn-1k/△t2-1/2β△t(1+λg(k△x)-λ2△apФn+1k)+1/2△x(pnk+1Фn+1k+2-Фn+1k/2

7、△x-pnk-1Фn+1k-Фn+1k-2/2△x)=∈2/8△x2(△ap(logpnk+2)pnk+2-△ap(logpnk+1)pnk+1-△ap(logpnk)pnk (0.6)+△ap(logpnk-1)pnk-1)-(1/2β△x-1/△x△t)∧n-1(pn-1k+1-2pn-1k+pn-1k-1)一(1/2β△x+1/△x△t)∧n(pnk+1-2pnk+pnk-1)-1/2β△tpn-1k-1/2β△tpn-1k一1/