一類流體動(dòng)力學(xué)方程組的漸近極限問題.pdf

1、本文主要通過攝動(dòng)理論的帶小參數(shù)的漸近展開方法，結(jié)合古典能量方法，研究了Rayleigh-Bénard對(duì)流模型及其極限形式無窮Prandtl數(shù)模型之間的關(guān)系。 由兩個(gè)平行平面限制，從下部加熱的Rayleigh-Bénard對(duì)流模型可以用Boussinesq方程組來比較精確地描述。Boussinesq方程組由一個(gè)關(guān)于流體速度場的不可壓Navier-Stokes方程加與溫度成比例的浮力項(xiàng)，一個(gè)水平對(duì)流擴(kuò)散方程，以及邊界條件和初始條件組

2、成。 無量綱化后可以將Boussinesq方程組看作是含小參數(shù)ε的非線性微分方程組。在無窮Prandtl數(shù)極限模型中，只需給定溫度場的初值，而在Boussinesq方程組中，速度場和溫度場的初值必須都得給定。且一般來說，當(dāng)小參數(shù)ε→0時(shí)，后者的速度場初值不趨向于前者的速度場初值。因此，這是一個(gè)含有初始層的奇異極限問題。王曉明通過有效動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了比較詳細(xì)的研究，得到了O(ε)的收斂速度．本文在此基礎(chǔ)上通過攝動(dòng)理論的漸近

3、展開方法，結(jié)合古典能量方法得到了更進(jìn)一步的結(jié)果．通過將近似解分解為外函數(shù)(t>0)和初始層函數(shù)(t=0附近)，證明了漸近解的收斂性，并得到了收斂速度O(ε<'3/2>)和最佳收斂速度O(ε<'2>)。另外，當(dāng)Boussinesq方程組取特殊初值，使得當(dāng)ε→0時(shí)，它的初值正好趨向于極限模型的初值，這時(shí)初始層消失。并通過漸近展開方法，古典能量方法，嵌入定理等證明了此時(shí)的N階近似解在H<'s>范數(shù)意義下也是收斂的，且有收斂速度O(ε<'N+1