數(shù)學(xué)物理中的若干反問(wèn)題.pdf

1、數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題是源于物理、生物、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)等眾多科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)建模而產(chǎn)生的一個(gè)新興交叉學(xué)科領(lǐng)域。其特點(diǎn)是問(wèn)題種類繁多，涉及多學(xué)科領(lǐng)域的理論，大多屬于數(shù)學(xué)中的不適定問(wèn)題，數(shù)學(xué)理論和方法尚不完善，很多問(wèn)題的研究依賴于其正問(wèn)題的研究。本文研究的問(wèn)題分別屬于下面兩個(gè)反問(wèn)題領(lǐng)域中的問(wèn)題：未知邊界探測(cè)問(wèn)題和生物電磁場(chǎng)問(wèn)題．全文共分為四部分： 1．橢圓方程沿直線唯一延拓的條件穩(wěn)定性； 2．波動(dòng)方程和逆波源問(wèn)題沿直線唯一

2、延拓的條件穩(wěn)定性； 3．EEG和MEG的正問(wèn)題； 4．卵球模型的MEG反問(wèn)題。 在論文的第一部分，我們的主要工作是利用C<'n>中全純函數(shù)的延拓方法討論了R<'n>中一類高階橢圓方程的解沿直線作唯一延拓時(shí)的條件穩(wěn)定性。該問(wèn)題的條件穩(wěn)定性意即：在解的先驗(yàn)界的假設(shè)下，我們可以由較小部分直線段上解的值來(lái)估計(jì)較大直線段上的值．該類問(wèn)題是近些年來(lái)研究未知邊界探測(cè)反問(wèn)題中所呈現(xiàn)出來(lái)的一種新的反問(wèn)題．彈性力學(xué)中許多問(wèn)題是我們這

3、里所討論的橢圓方程類型的重要的實(shí)際背景。作為應(yīng)用，我們將該穩(wěn)定性結(jié)果用于彈性力學(xué)中的兩個(gè)方程： Lamé方程組和具有解析系數(shù)的Kirchhoff板方程。最后，根據(jù)我們建立的條件穩(wěn)定性結(jié)果，我們針對(duì)二維調(diào)和函數(shù)進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)，意在考察這種條件穩(wěn)定性對(duì)數(shù)值解的影響。數(shù)值結(jié)果顯示我們得到了較高精度的近似解，并且隨著大線段上的點(diǎn)與小線段右端點(diǎn)之間的距離越小而誤差精度越高，與我們的條件穩(wěn)定性的理論結(jié)果相符合。 論文的第二部分則考察的是波動(dòng)

4、方程和逆波源問(wèn)題沿直線的唯一延拓問(wèn)題，我們通過(guò)Fourier-Bros-Iagolnitzer變換，并將波動(dòng)方程問(wèn)題化為L(zhǎng)aplace方程問(wèn)題，進(jìn)而利用Laplace方程的有關(guān)結(jié)果得到了波動(dòng)方程的解沿直線唯一延拓的對(duì)數(shù)型條件穩(wěn)定性結(jié)果。根據(jù)該結(jié)果，進(jìn)一步研究了逆波源問(wèn)題，建立了與空間變量有關(guān)的波源項(xiàng)在線段上延拓的條件穩(wěn)定性． 本文的第三部分是醫(yī)學(xué)影像技術(shù)中的問(wèn)題--腦電圖影像(electroencephalog-raphy，簡(jiǎn)記

5、EEG)和磁源影像(magnetoencephalography，簡(jiǎn)記MEG)的正問(wèn)題，求解EEG/MEG正問(wèn)題是研究通過(guò)EEG和MEG測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)確定腦內(nèi)部神經(jīng)電流源分布的反問(wèn)題的一個(gè)重要組成部分， EEG和MEG的正問(wèn)題是在假定電流源分布已知的情況下，分別計(jì)算腦皮層上的電位勢(shì)和腦外部磁場(chǎng)。在Maxwell方程的擬穩(wěn)態(tài)的假設(shè)下，我們給出了適合處理一般的非球腦模型的EEG/MEG問(wèn)題的解析表達(dá)式并利用邊界元加權(quán)殘數(shù)配點(diǎn)法和最小二乘配點(diǎn)法給

6、出了數(shù)值計(jì)算的統(tǒng)一框架。然后，我們利用上述兩種方法針對(duì)非球模型——卵球模型，分別在單層卵球模型和三層卵球模型下實(shí)施了多方位的EEG/MEG正問(wèn)題的數(shù)值試驗(yàn)，并且詳細(xì)地分析了上述兩種方法在處理單層及三層卵球模型下， EEG和MEG正問(wèn)題的解相對(duì)于偶極子位置和方向變化時(shí)的誤差。在各種情形下，得到了穩(wěn)定可靠的EEG和MEG正問(wèn)題數(shù)值結(jié)果。 第四部研究的是MEG反問(wèn)題．我們利用均勻卵球體作為人腦模型的近似，該模型比球模型和橢球模型更接近