若干非線性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解析和數(shù)值研究.pdf

1、在線性理論日臻完善的今天,非線性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題愈發(fā)為科學(xué)家所關(guān)注。無(wú)論是基礎(chǔ)科學(xué)還是工程技術(shù)領(lǐng)域,研究者面對(duì)的大多是復(fù)雜的非線性問(wèn)題。如何處理這些問(wèn)題是對(duì)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重大挑戰(zhàn)。本論文的主要工作沿兩條線索展開(kāi):一方面,充分利用一些現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具研究幾個(gè)重要的非線性模型,得到一些新穎的結(jié)果；另一方面,根據(jù)對(duì)一些已有嚴(yán)格解方法和近似方法的總結(jié)和反思,提出一種研究非線性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的新型近似方法。
　　 本文第一章作為緒論部分概括地

2、介紹了非線性科學(xué)的內(nèi)涵、意義和研究現(xiàn)狀,重點(diǎn)介紹了本論文涉及的一些非線性問(wèn)題和非線性方程的數(shù)學(xué)及物理背景,概述了研究非線性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的主要數(shù)學(xué)工具及其發(fā)展歷程,同時(shí)闡明了本論文的主要工作。
　　 第二章從流體力學(xué)的基本模型β面上的無(wú)輻散正壓位渦方程出發(fā),推導(dǎo)出變系數(shù)KdV方程及變系數(shù)mKdV方程；從另一個(gè)研究分層流體的基本方程二層流體模型出發(fā),推導(dǎo)出耦合變系數(shù)mKdV方程,然后通過(guò)構(gòu)造這些變系數(shù)方程的嚴(yán)格解充分闡釋了大氣系統(tǒng)中

3、一種重要的非線性現(xiàn)象--大氣阻塞產(chǎn)生、發(fā)展和衰減的動(dòng)力學(xué)機(jī)理。在這一章里,基于多重尺度展開(kāi)法,我們提出了一個(gè)新的推導(dǎo)變系數(shù)近似方程的系統(tǒng)方法。同時(shí),為了嚴(yán)格求解推導(dǎo)出的變系數(shù)方程,我們發(fā)展了一種在變系數(shù)方程和相應(yīng)的常系數(shù)方程之間建立B(a)cklund變換的直接方法。該直接方法作為求解變系數(shù)方程的一個(gè)基本方法還將應(yīng)用于本論文的其他章節(jié)。
　　 第三章通過(guò)施加四個(gè)合理化條件(單渦旋的局域性、短程相互作用、兩體相互作用以及多渦旋的完

4、整性),將β面上的無(wú)輻散正壓位渦方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)多渦旋相互作用模型。我們充分討論了該模型的經(jīng)典李對(duì)稱和守恒律,給出了模犁的幾種嚴(yán)格解,包括渦旋源解和Bessel渦旋解。利用該模型,結(jié)合孤立子理論以及數(shù)值模擬方法,我們解釋了大氣系統(tǒng)中熱帶氣旋之間一些重要的相互作用特征,包括氣旋間互旋、兩個(gè)氣旋在臨界距離處的合并或分離、強(qiáng)氣旋對(duì)弱氣旋的吸收,以及臺(tái)風(fēng)對(duì)副熱帶高壓的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)。
　　 第四章利用本論文第一章發(fā)展的構(gòu)造變系數(shù)方程與相應(yīng)常系數(shù)

5、方程之間B(a)cklund變換的直接方法,嚴(yán)格求解了一個(gè)變系數(shù)3+1維NLS方程和一個(gè)耦合變系數(shù)1+1維NLS方程,給出了前者的孤波解和后者的向量孤波解,同時(shí)給出了這些嚴(yán)格解存在時(shí)變系數(shù)之間所要滿足的關(guān)系。這兩類方程在玻色-愛(ài)因斯坦凝聚和非線性光學(xué)領(lǐng)域都有重要的理論意義。同時(shí),在這一章里,我們還利用經(jīng)典李群法研究了一種和NLS方程相關(guān)的新型非線性方程-共振DS方程的對(duì)稱性,并且得到了該方程的三類嚴(yán)格解。
　　 與第二、三、四章

6、主要處理具體非線性問(wèn)題不同,第五章則花一章的篇幅著力于方法的研究。通過(guò)對(duì)現(xiàn)有非線性方程研究中經(jīng)常使用的一些嚴(yán)格解方法及近似方法進(jìn)行總結(jié)和提煉,我們?cè)谕瑐惙治龇椒ǖ幕A(chǔ)上提出了一種新的近似方法--不敏感性同倫方法。該方法通過(guò)建立線性或非線性同倫,將難以直接求解的原始模型和一個(gè)有嚴(yán)格解的簡(jiǎn)化模型聯(lián)系起來(lái),并且引入控制收斂的輔助參數(shù),從而不依賴小的微擾參量即可得到原始模型的高精度近似解。與同倫分析法相比,一方面,該方法突破了線性同倫的局限,展

7、示出完全可以用非線性同倫連接原始模型和簡(jiǎn)化模型；另一方面,明確給出了一個(gè)指導(dǎo)確定合理輔助參數(shù)的原則--不敏感性原理,并且通過(guò)構(gòu)造不敏感量,給出了確定輔助參數(shù)以提高近似解精度的具體步驟。該方法的有效性通過(guò)非線性微分方程的求解和非簡(jiǎn)諧振子能量本征值的計(jì)算得到了檢驗(yàn),它既可以作為近似求解非線性方程的工具,也可作為物理學(xué)中一種有效的非微擾方法來(lái)使用。
　　 第六章對(duì)論文的主要內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)和討論,并且對(duì)未來(lái)工作可能的新發(fā)展和新方向做了展