再生核空間中某些數(shù)學物理反問題的數(shù)值解法.pdf

1、數(shù)學物理反問題來源于社會與科技發(fā)展的驅(qū)動。近三十年來,數(shù)學物理反問題發(fā)展非常迅速,廣泛應(yīng)用于能源科學、生物醫(yī)學、環(huán)境科學和信號處理等科學技術(shù)領(lǐng)域。在數(shù)值模擬計算中,能否獲得精度適當?shù)臄?shù)值解主要取決于所用的數(shù)值方法。因此,尋求一種運算精度高、計算量少、收斂性好和穩(wěn)定性強的數(shù)值方法顯得尤其重要。由于再生核在數(shù)值計算上具有良好的性質(zhì),它已經(jīng)成為函數(shù)逼近的重要工具。近年來,再生核理論發(fā)展十分迅速,已經(jīng)被成功地應(yīng)用到小波變換、信號處理、隨機過程、

2、虹膜識別、機器改進、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等研究領(lǐng)域中。
　　本文主要研究再生核空間中某些數(shù)學物理反問題的數(shù)值解法,其優(yōu)勢在于:
　　(1)構(gòu)造出更簡單的再生核,因此在進行數(shù)值模擬運算時,能夠減少累計誤差,從而大大減少運行時間,提高運算精度。
　　(2)改進了原有的方法,將原問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解問題,避開了Gram-Schmidt正交化的運算過程。數(shù)值實驗表明可以減少運行時間,提高運算精度。
　　(3)獲得的數(shù)值解在整個

3、求解區(qū)間內(nèi)整體近似,而且方程的近似解及其各階導數(shù)分別一致收斂到方程的精確解及其各階導數(shù),這有利于進一步地分析和探索解的導數(shù)的性質(zhì)。
　　本文的主要工作如下:
　　首先,以奇異兩點邊值問題為例,給出了再生核空間的構(gòu)造方法,獲得了新的再生核,比原再生核簡單很多。通過數(shù)值算例表明采取新的再生核比采取以前的再生核得到的運算結(jié)果精度高很多,而且運算時間短很多,進一步地豐富和拓展了再生核空間理論。
　　其次,提出了反演熱傳導方程的

4、再生核法,構(gòu)造出適合方程的二元再生核空間,并且在同一個再生核空間中獲得了方程的精確解表達式和近似解的求解方法,給出了收斂性證明,拓展了再生核空間理論在反問題領(lǐng)域的應(yīng)用。
　　再次,提出了反演帶有超定條件的二維拋物型方程的再生核法,成功地構(gòu)造出三元再生核空間,得到了精確解表達式和近似解的求解方法,給出了收斂性證明,使得在再生核空間中求解二維、三維、甚至更高維的偏微分方程問題成為可能,豐富和拓展了再生核空間理論及其應(yīng)用。
　　最

5、后,提出了反演二維分數(shù)階擴散方程的再生核法,成功地構(gòu)造出適合方程的三元再生核,獲得了精確解表達式和近似解的求解方法,給出了收斂性證明,使得用再生核法反演二維分數(shù)階擴散方程成為可能,進一步地豐富和拓展了再生核空間的應(yīng)用范圍。
　　總之,再生核空間是進行數(shù)值模擬計算的比較理想的空間。本文分別針對奇異兩點邊值問題、熱傳導方程的反演源問題、帶有超定條件的二維拋物型反演源問題和二維分數(shù)階擴散方程的反演源問題,構(gòu)造出適當?shù)脑偕丝臻g,使得數(shù)值