Critical number及其逆問題.pdf

1、本文對Critical number及其逆問題進行了研究。假設G是一個有限群,S是G的一個子集且不含單位元。如果G的每個元素都能表示為S的子集和的形式,那么我們稱S為G的一個堆壘基,有時我們也稱其為G的一個完全集合。Critical number cr(G)是最小的整數t使得每一個勢大于t的集合都是G的一個堆壘基。決定有限群的critical number是加法數論中一個重要的課題。cr(G)這個常數的研究始于1964年Erd6s和He

2、ilbronn在循環(huán)群Zp上所做的工作。他們證明了如果S是Zp＼{0}的一個子集|S|≥3√6p,那么S的所有子集和并上{0}為G。Olson隨后證明了Cr(Zp)≤√4p-3+1。經過很長一段時間,Dias da Silva and Hamidoune在1994年得到了cr(Zp)≤√4p-7；此結果是嚴格的。Man和Olson在1967年對合數階有限群的critical number進行研究,并得到結果cr(Zp()Zp)≤2p-1

3、。隨后,Mann和Wou合作證明了cr(Zp()Zp)=2p-2。自那以后,許多數學家都致力于critical number的研究。直到最近,有限交換群的critical number才被最終決定。然而,關于非交換群的critical number的研究是公開的。到目前為止,只有H.B.Mann,J.E.Olson,and W.Gao得到的少量結果。綜合運用Alon,Gao,Hamidoune and Diderrich的方法,我們在第