非線性數(shù)學期望的性質(zhì).pdf

1、自然科學和社會科學中存在著很多不確定現(xiàn)象不能用線性數(shù)學期望來精確描述的。例如經(jīng)濟理論中如何度量不確定環(huán)境下人們的偏好問題，最常用的方法是期望效用法，但是自從Allais悖論和Ellsberg悖論提出后，期望效用方法受到了有力的挑戰(zhàn)，而數(shù)學期望的線性性是導致悖論的重要原因之一。研究者們嘗試使用非線性數(shù)學期望來處理這些問題。 從上世紀90年代開始，基于倒向微分方程的g-期望及其相關(guān)性質(zhì)得到了廣大的發(fā)展，解決了各個領(lǐng)域的很多現(xiàn)實問題。

2、在金融經(jīng)濟學中已有的一個著名模型正好就是一個倒向隨機微分方程，而獲諾貝爾經(jīng)濟學獎的Black-Sehoies公式則是這個方程的解。這個公式每天都被用來計算數(shù)十億乃至數(shù)百億美元的風險金融資產(chǎn)的價格，而關(guān)于倒向微分方程以及g-期望的理論研究成果可以用來求解更一般和更復雜的情況下的風險金融資產(chǎn)價格，目前已被公認為研究金融市場的衍生證券定價理論的基礎(chǔ)工具。 本文介紹了適用于動態(tài)模型的非線性條件數(shù)學期望已有的一些性質(zhì)，如生成元g滿足超齊次

3、可加性時，g-期望滿足Jensen不等式、F-期望ε[.]滿足超齊次性并且滿足常數(shù)可加性時，F(xiàn)-期望也滿足Jensen不等式；生成元g滿足關(guān)于z是線性的或者g-期望是共單調(diào)可加時，g-期望可以表示成Choquet積分的形式。 另外還獨立地討論了條件F-期望的共單調(diào)可加性。Jiang(2006，[19])討論了當g-期望滿足共單調(diào)可加性以及次(超)可加性時，條件g-期望也滿足共單調(diào)可加性。本文簡化了該定理的證明，并且將此性質(zhì)推廣到