非線性數(shù)學(xué)期望及相關(guān)領(lǐng)域.pdf

1、Pardoux-Peng(1990)首次考慮了如下形式的倒向隨機(jī)微分方程(BSDE):并給出了解的存在唯一性.在對(duì)BSDE的性質(zhì)深入研究的基礎(chǔ)上,Peng(1997)基于BSDE的解提出了g-期望和條件g-期望的概念:設(shè)g滿足條件(A1)Lipschitz條件和(A2)g(t,y,O)≡O(shè),稱
　　 為ξ的g-期望和條件g-期望,其中(yt)t∈[0,t]為上述BSDE對(duì)應(yīng)終端ξ的解.特別重要的,g-期望是第一個(gè)動(dòng)態(tài)相容的非線性

2、期望,而Choquet(1953)從容度出發(fā)提出的Choquet期望(也稱Choquet積分)至今也沒(méi)有做到動(dòng)態(tài)相容.g-期望的一個(gè)特點(diǎn)是可以在一個(gè)概率框架下去討論,Peng(2005)進(jìn)一步提出了完全不需要概率框架的更一般的動(dòng)態(tài)相容的非線性期望理論,開(kāi)創(chuàng)性的提出了用非線性馬氏鏈構(gòu)造動(dòng)態(tài)相容的非線性期望.特別的Peng(2004)考慮了股票市場(chǎng)波動(dòng)率的不確定性,具體的構(gòu)造了一類動(dòng)態(tài)相容而非g-期望的例子,這可以看做G-期望理論的最初研究

3、.
　　 Peng(2006)提出了G-正態(tài)分布,G-期望和G-布朗運(yùn)動(dòng)的概念,建立了基于G-布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分,得到了相應(yīng)的It(o)公式,隨機(jī)微分方程和倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯-性等一系列結(jié)果,創(chuàng)立了一套完整的理論框架.特別吸引人的地方是,在G-期望的理論框架下已經(jīng)得到了一些很有趣的結(jié)果,出現(xiàn)了一些很有趣的方法,還有大量有趣的問(wèn)題.另外我們指出G-期望是動(dòng)態(tài)相容的次線性期望但不是g-期望,而g-期望可以看成G-期望的一種特

4、殊情形.最近,Peng(2007,2008)研究了次線性期望下獨(dú)立同分布序列的中心極限定理,令人驚奇的是其極限分布存在且是G-正態(tài)分布,這一結(jié)果表明G-正態(tài)分布是客觀存在的,而且其在次線性期望中的地位可能比正態(tài)分布在線性期望中的地位更重要.
　　 本文深入系統(tǒng)地研究了動(dòng)態(tài)相容的非線性期望理論中的一些基本問(wèn)題,特別是G-期望中的一些基本問(wèn)題,其中包括g-期望與Choquet期望的關(guān)系；G-正態(tài)分布的相關(guān)計(jì)算；G-期望的表示定理,G

5、-布朗運(yùn)動(dòng)的軌道語(yǔ)言；G-Lévy過(guò)程等.并在以下方面取得了明顯進(jìn)展:
　　 一、第一章在g是確定性的條件下,得到了g-期望在全空間和在部分集合上等于Choquet期望的充要條件；在g是確定性的凸函數(shù)的條件下,得到了g-期望被Choquet期望控制的充要條件.
　　 本章我們對(duì)此問(wèn)題給出了一種新的處理辦法,得到了本章的第一個(gè)主要結(jié)果:定理1.3.12.設(shè)g是確定性的函數(shù)且滿足條件(A1)和(A2),則g-期望在L2(FT

6、)上等于Choquet期望的充要條件是g與y無(wú)關(guān)且關(guān)于z是線性的,即g-期望是經(jīng)典的線性期望.
　　 本章的第二個(gè)主要結(jié)果是考慮g-期望在L2(FT)的-個(gè)子集上等于Choquet期望的充要條件.為此我們先簡(jiǎn)要回顧一下相應(yīng)的空間:特別的集合H11和H2可以看成歐式期權(quán)頭寸的集合.Chen-Sulem(2001)首次研究了g-期望在H1上等于Choquet期望的問(wèn)題,在布朗運(yùn)動(dòng)的維數(shù)是1維的情形下得到了一個(gè)充要條件；在布朗運(yùn)動(dòng)的維

7、數(shù)大于1的情形,Chen-Kulperger-Wei(2005)給出了一個(gè)充分條件.
　　 本章最后我們進(jìn)一步研究了g-期望在L2(FT)上被Choquet期望控制的條件,得到了本章的第三個(gè)主要結(jié)果:定理1.4.3.設(shè)g是確定性的函數(shù),滿足條件(A1)和(A2),且與y無(wú)關(guān),關(guān)于z是凸的,則對(duì)任給的ξ∈L2(FT)有εg[ξ]≤Cg[ξ]的充要條件是g關(guān)于z是正齊的且是次可加的.
　　 本章我們系統(tǒng)的研究了g-期望的性質(zhì)

8、,這是第一個(gè)動(dòng)態(tài)相容的非線性期望.我們希望通過(guò)g-期望的性質(zhì)更好的認(rèn)識(shí)更一般的動(dòng)態(tài)相容的非線性期望的性質(zhì),特別是G-期望,同時(shí)也可以把g-期望做為一個(gè)很好的例子.這種想法在論文的第二章和第四章都有所體現(xiàn).
　　 二、第二章得到了G-正態(tài)隨機(jī)變量奇次方分布的計(jì)算公式；證明了凸期望下的中心極限定理仍成立.
　　 本章的第-個(gè)主要結(jié)果:
　　 特別需要指出的是上述公式的計(jì)算順序,首先由第一個(gè)式子得Cn(這很容易由計(jì)算機(jī)

9、程序?qū)崿F(xiàn),誤差是可控的),代入第二個(gè)式子即得kn.我們希望我們的結(jié)果會(huì)對(duì)今后的有關(guān)G-正態(tài)分布的隨機(jī)計(jì)算有所幫助,至少可以提供一個(gè)驗(yàn)證的例子.
　　 我們的第二個(gè)主要結(jié)果是考慮凸期望下的中心極限定理,這部分研究深受Peng(2007,2008)關(guān)于次線性期望下中心極限定理工作的啟發(fā).下面是我們的第二個(gè)主要結(jié)果:
　　 特別令人驚奇的是,凸期望下的極限分布跟次線性期望下的極限分布相同,即對(duì)應(yīng)的G都是次可加且正齊的.特別有意

10、思的是將中心極限定理的結(jié)果應(yīng)用于g-期望可以得到一些很有趣的關(guān)系式,下面是我們的第三個(gè)主要結(jié)果:
　　 三、第三章系統(tǒng)的研究了基于概率族的測(cè)度論,得到了空間Lpb和Lpc的刻畫,隨機(jī)過(guò)程的Kolmogorov連續(xù)修正準(zhǔn)則和相應(yīng)的次線性期望的收斂定理；獲得了次線性期望下一類隨機(jī)過(guò)程分布的表示定理,特別G-期望有如此的表示定理,結(jié)合Lpc的刻畫,我們進(jìn)一步建立了該類過(guò)程生成的完備化空間的軌道描述,特別G-布朗運(yùn)動(dòng)的軌道描述.

11、　　 引入了G-布朗運(yùn)動(dòng)并建立了相應(yīng)的隨機(jī)積分理論,這套理論的一個(gè)關(guān)鍵是引入了合理的范數(shù),所給的空間都是在相應(yīng)范數(shù)下的完備化空間.為了更好的介紹我們的工作,我們首先回顧一下Peng中引入的記號(hào):
　　 本章我們深入系統(tǒng)地研究了這一問(wèn)題,給出了LPG(Ω)空間中元素的一個(gè)具體描述.在處理這一問(wèn)題上,我們首先給出一種簡(jiǎn)單而直接得辦法去證明G-期望可以表示為一族弱緊的概率測(cè)度族P對(duì)應(yīng)的上期望.更一般的我們有下面的本章主要結(jié)果:

12、>　　 基于此概率族P,我們重新建立了相應(yīng)的測(cè)度論.具體的來(lái)說(shuō),定義相應(yīng)的容度(請(qǐng)參閱Huber(1981)):由容度可以引入擬連續(xù)函數(shù)的概念,在此基礎(chǔ)上可以定義函數(shù)的擬連續(xù)修正.同時(shí)還可以引入下述函數(shù)空間:任給的p≥0,本章我們還得到了下述一系列主要結(jié)果:定理3.2.6.對(duì)任給的p>0,有定理3.2.28.對(duì)任給的p>0,有定理3.2.22.(Kolmogorov連續(xù)修正準(zhǔn)則)定理3.2.33.(收斂定理)設(shè)P是弱緊的概率族,由于L

13、ip(Ω)是有界連續(xù)函數(shù)空間的子空間,從而LpG(Ω)可看成Lpc的子空間.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步我們可以證明所有的有界連續(xù)函數(shù)都在LpG(Ω)中.進(jìn)而我們得到了下述主要結(jié)果:
　　 定理3.3.10.(軌道性質(zhì))設(shè)次線性期望空間(Ω，Lip(Ω),(E))滿足上述定理3.3.7.中的條件，則對(duì)任給的p>0，有特別需要指出的是定理3.2.6.和3.2.22.中不要求Ω是距離空間,易知G-期望滿足定理3.3.7.中的條件,從而定理3.

14、3.7.和3.3.10.對(duì)G-期望和相應(yīng)G-布朗運(yùn)動(dòng)生成的空間中是成立的,從而定理3.2.33.對(duì)G-期望也成立.
　　 特別有趣的事,Banach空間Lp,Lpb和Lpc在經(jīng)典的線性期望下是同一空間,但在次線性期望下這些空間是不同的且存在著本質(zhì)的區(qū)別.例如在LpG(Ω)=Lpc中有條件G-期望的概念,但在更大的空間中是否可以定義條件G-期望仍然是個(gè)很有趣的問(wèn)題.
　　 特別我們指出文章[25]中第一次明確提出了這種q.

15、s.軌道分析的思想,我們的文章[26]第一次嚴(yán)格地證明了這種q.s.意義下的軌道分析.
　　 四、第四章首次提出了次線性期望下G-Lévy過(guò)程的概念,得到了G-Lévy過(guò)程的Lévy-Khintchine公式,進(jìn)而找到了G-Lévy過(guò)程的分布滿足的積分偏微分方程,以及由此積分偏微分方程具體的構(gòu)造G-Lévy過(guò)程.
　　 在處理這一問(wèn)題上,我們主要研究獨(dú)立平穩(wěn)增量過(guò)程(Xt)t≥0的分布性質(zhì),具體的來(lái)說(shuō),即研究函數(shù)u(t,

16、x):=(E)[()(x+Xt)]滿足的偏微分方程.本章我們深入系統(tǒng)的研究了這一問(wèn)題,主要是針對(duì)我們引入的G-Lévy過(guò)程,這對(duì)應(yīng)于跳是可求和的獨(dú)立平穩(wěn)增量過(guò)程,從而我們定義G-Lévy過(guò)程是一類能在分布意義下分解為跳部分和連續(xù)部分的獨(dú)立平穩(wěn)增量過(guò)程.關(guān)于跳部分不能用Peng(2007)中給出的方法去處理,我們克服了一些實(shí)質(zhì)性的困難,關(guān)鍵是巧妙地應(yīng)用了Daniell-Stone定理,對(duì)跳部分給出了很好的處理,得到了G-Lévy過(guò)程分布的

17、Lévy-Khintchine公式,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步找到了u滿足的積分偏微分方程.由此積分偏微分方程,可以反過(guò)來(lái)構(gòu)造G-Lévy過(guò)程.下面是我們本章的主要結(jié)果:
　　 定理4.2.19.設(shè)(Xt)t≥0是d-維G-Lévy過(guò)程.對(duì)任意給定的()∈Cb.Lip(Rd),定義u(t,x)=(E)()(x+Xt)],則u是下述積分偏微分方程的唯一粘性解:其中u表示Gx.
　　 定理4.2.23.任意給定u滿足定理4.2.18.