非線性數學期望及相關領域.pdf

1、Pardoux-Peng(1990)首次考慮了如下形式的倒向隨機微分方程(BSDE):并給出了解的存在唯一性.在對BSDE的性質深入研究的基礎上,Peng(1997)基于BSDE的解提出了g-期望和條件g-期望的概念:設g滿足條件(A1)Lipschitz條件和(A2)g(t,y,O)≡O,稱
　　 為ξ的g-期望和條件g-期望,其中(yt)t∈[0,t]為上述BSDE對應終端ξ的解.特別重要的,g-期望是第一個動態(tài)相容的非線性

2、期望,而Choquet(1953)從容度出發(fā)提出的Choquet期望(也稱Choquet積分)至今也沒有做到動態(tài)相容.g-期望的一個特點是可以在一個概率框架下去討論,Peng(2005)進一步提出了完全不需要概率框架的更一般的動態(tài)相容的非線性期望理論,開創(chuàng)性的提出了用非線性馬氏鏈構造動態(tài)相容的非線性期望.特別的Peng(2004)考慮了股票市場波動率的不確定性,具體的構造了一類動態(tài)相容而非g-期望的例子,這可以看做G-期望理論的最初研究

3、.
　　 Peng(2006)提出了G-正態(tài)分布,G-期望和G-布朗運動的概念,建立了基于G-布朗運動的隨機積分,得到了相應的It(o)公式,隨機微分方程和倒向隨機微分方程解的存在唯-性等一系列結果,創(chuàng)立了一套完整的理論框架.特別吸引人的地方是,在G-期望的理論框架下已經得到了一些很有趣的結果,出現(xiàn)了一些很有趣的方法,還有大量有趣的問題.另外我們指出G-期望是動態(tài)相容的次線性期望但不是g-期望,而g-期望可以看成G-期望的一種特

4、殊情形.最近,Peng(2007,2008)研究了次線性期望下獨立同分布序列的中心極限定理,令人驚奇的是其極限分布存在且是G-正態(tài)分布,這一結果表明G-正態(tài)分布是客觀存在的,而且其在次線性期望中的地位可能比正態(tài)分布在線性期望中的地位更重要.
　　 本文深入系統(tǒng)地研究了動態(tài)相容的非線性期望理論中的一些基本問題,特別是G-期望中的一些基本問題,其中包括g-期望與Choquet期望的關系；G-正態(tài)分布的相關計算；G-期望的表示定理,G

5、-布朗運動的軌道語言；G-Lévy過程等.并在以下方面取得了明顯進展:
　　 一、第一章在g是確定性的條件下,得到了g-期望在全空間和在部分集合上等于Choquet期望的充要條件；在g是確定性的凸函數的條件下,得到了g-期望被Choquet期望控制的充要條件.
　　 本章我們對此問題給出了一種新的處理辦法,得到了本章的第一個主要結果:定理1.3.12.設g是確定性的函數且滿足條件(A1)和(A2),則g-期望在L2(FT

6、)上等于Choquet期望的充要條件是g與y無關且關于z是線性的,即g-期望是經典的線性期望.
　　 本章的第二個主要結果是考慮g-期望在L2(FT)的-個子集上等于Choquet期望的充要條件.為此我們先簡要回顧一下相應的空間:特別的集合H11和H2可以看成歐式期權頭寸的集合.Chen-Sulem(2001)首次研究了g-期望在H1上等于Choquet期望的問題,在布朗運動的維數是1維的情形下得到了一個充要條件；在布朗運動的維

7、數大于1的情形,Chen-Kulperger-Wei(2005)給出了一個充分條件.
　　 本章最后我們進一步研究了g-期望在L2(FT)上被Choquet期望控制的條件,得到了本章的第三個主要結果:定理1.4.3.設g是確定性的函數,滿足條件(A1)和(A2),且與y無關,關于z是凸的,則對任給的ξ∈L2(FT)有εg[ξ]≤Cg[ξ]的充要條件是g關于z是正齊的且是次可加的.
　　 本章我們系統(tǒng)的研究了g-期望的性質

8、,這是第一個動態(tài)相容的非線性期望.我們希望通過g-期望的性質更好的認識更一般的動態(tài)相容的非線性期望的性質,特別是G-期望,同時也可以把g-期望做為一個很好的例子.這種想法在論文的第二章和第四章都有所體現(xiàn).
　　 二、第二章得到了G-正態(tài)隨機變量奇次方分布的計算公式；證明了凸期望下的中心極限定理仍成立.
　　 本章的第-個主要結果:
　　 特別需要指出的是上述公式的計算順序,首先由第一個式子得Cn(這很容易由計算機

9、程序實現(xiàn),誤差是可控的),代入第二個式子即得kn.我們希望我們的結果會對今后的有關G-正態(tài)分布的隨機計算有所幫助,至少可以提供一個驗證的例子.
　　 我們的第二個主要結果是考慮凸期望下的中心極限定理,這部分研究深受Peng(2007,2008)關于次線性期望下中心極限定理工作的啟發(fā).下面是我們的第二個主要結果:
　　 特別令人驚奇的是,凸期望下的極限分布跟次線性期望下的極限分布相同,即對應的G都是次可加且正齊的.特別有意

10、思的是將中心極限定理的結果應用于g-期望可以得到一些很有趣的關系式,下面是我們的第三個主要結果:
　　 三、第三章系統(tǒng)的研究了基于概率族的測度論,得到了空間Lpb和Lpc的刻畫,隨機過程的Kolmogorov連續(xù)修正準則和相應的次線性期望的收斂定理；獲得了次線性期望下一類隨機過程分布的表示定理,特別G-期望有如此的表示定理,結合Lpc的刻畫,我們進一步建立了該類過程生成的完備化空間的軌道描述,特別G-布朗運動的軌道描述.

11、　　 引入了G-布朗運動并建立了相應的隨機積分理論,這套理論的一個關鍵是引入了合理的范數,所給的空間都是在相應范數下的完備化空間.為了更好的介紹我們的工作,我們首先回顧一下Peng中引入的記號:
　　 本章我們深入系統(tǒng)地研究了這一問題,給出了LPG(Ω)空間中元素的一個具體描述.在處理這一問題上,我們首先給出一種簡單而直接得辦法去證明G-期望可以表示為一族弱緊的概率測度族P對應的上期望.更一般的我們有下面的本章主要結果:

12、>　　 基于此概率族P,我們重新建立了相應的測度論.具體的來說,定義相應的容度(請參閱Huber(1981)):由容度可以引入擬連續(xù)函數的概念,在此基礎上可以定義函數的擬連續(xù)修正.同時還可以引入下述函數空間:任給的p≥0,本章我們還得到了下述一系列主要結果:定理3.2.6.對任給的p>0,有定理3.2.28.對任給的p>0,有定理3.2.22.(Kolmogorov連續(xù)修正準則)定理3.2.33.(收斂定理)設P是弱緊的概率族,由于L

13、ip(Ω)是有界連續(xù)函數空間的子空間,從而LpG(Ω)可看成Lpc的子空間.在此基礎上,進一步我們可以證明所有的有界連續(xù)函數都在LpG(Ω)中.進而我們得到了下述主要結果:
　　 定理3.3.10.(軌道性質)設次線性期望空間(Ω，Lip(Ω),(E))滿足上述定理3.3.7.中的條件，則對任給的p>0，有特別需要指出的是定理3.2.6.和3.2.22.中不要求Ω是距離空間,易知G-期望滿足定理3.3.7.中的條件,從而定理3.

14、3.7.和3.3.10.對G-期望和相應G-布朗運動生成的空間中是成立的,從而定理3.2.33.對G-期望也成立.
　　 特別有趣的事,Banach空間Lp,Lpb和Lpc在經典的線性期望下是同一空間,但在次線性期望下這些空間是不同的且存在著本質的區(qū)別.例如在LpG(Ω)=Lpc中有條件G-期望的概念,但在更大的空間中是否可以定義條件G-期望仍然是個很有趣的問題.
　　 特別我們指出文章[25]中第一次明確提出了這種q.

15、s.軌道分析的思想,我們的文章[26]第一次嚴格地證明了這種q.s.意義下的軌道分析.
　　 四、第四章首次提出了次線性期望下G-Lévy過程的概念,得到了G-Lévy過程的Lévy-Khintchine公式,進而找到了G-Lévy過程的分布滿足的積分偏微分方程,以及由此積分偏微分方程具體的構造G-Lévy過程.
　　 在處理這一問題上,我們主要研究獨立平穩(wěn)增量過程(Xt)t≥0的分布性質,具體的來說,即研究函數u(t,

16、x):=(E)[()(x+Xt)]滿足的偏微分方程.本章我們深入系統(tǒng)的研究了這一問題,主要是針對我們引入的G-Lévy過程,這對應于跳是可求和的獨立平穩(wěn)增量過程,從而我們定義G-Lévy過程是一類能在分布意義下分解為跳部分和連續(xù)部分的獨立平穩(wěn)增量過程.關于跳部分不能用Peng(2007)中給出的方法去處理,我們克服了一些實質性的困難,關鍵是巧妙地應用了Daniell-Stone定理,對跳部分給出了很好的處理,得到了G-Lévy過程分布的

17、Lévy-Khintchine公式,在此基礎上進一步找到了u滿足的積分偏微分方程.由此積分偏微分方程,可以反過來構造G-Lévy過程.下面是我們本章的主要結果:
　　 定理4.2.19.設(Xt)t≥0是d-維G-Lévy過程.對任意給定的()∈Cb.Lip(Rd),定義u(t,x)=(E)()(x+Xt)],則u是下述積分偏微分方程的唯一粘性解:其中u表示Gx.
　　 定理4.2.23.任意給定u滿足定理4.2.18.