次線性數(shù)學(xué)期望下的極限理論及其應(yīng)用.pdf

1、自從Choquet[13]提出容度概念后，人們對容度理論越來越感興趣.因為在經(jīng)濟(jì)，統(tǒng)計學(xué)，工程學(xué)等領(lǐng)域有很多帶有不確定性的問題，它們無法用傳統(tǒng)的可加概率測度來準(zhǔn)確預(yù)測或描述.現(xiàn)實中，概率可加性假設(shè)局限性明顯，越來越多的人們開始舍棄可加概率這一傳統(tǒng)工具，轉(zhuǎn)而使用非可加（上，下）概率測度這一新興工具來刻畫帶有不確定性的問題.事實上，早在1954年，Keynes[24]就發(fā)現(xiàn)了此類轉(zhuǎn)變需求，從而創(chuàng)建了不確定概率理論.容度，這一非可加概率測度，

2、就成為了刻畫不確定性問題時一種十分合適的數(shù)學(xué)工具（參見Aug-ustin[1]，Maccherroni和Marinacci[27]，Doob[17]，Schmeidler[33]）.鑒于金融數(shù)學(xué)和應(yīng)用統(tǒng)計的廣泛需求，非可加（上，下）概率/期望下隨機(jī)變量的基本性質(zhì)成為人們爭相研究的學(xué)術(shù)熱點.
　　眾所周知，大數(shù)定律(LLN)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展和應(yīng)用中發(fā)揮了至關(guān)重要的奠基作用，與此同時，我們發(fā)現(xiàn)有關(guān)非可加容度/期望下（強(qiáng)）大數(shù)定

3、律的研究成果十分豐富，主要分為兩個學(xué)術(shù)流派:一個是非可加概率流派，其特征是用非可加（不確定的）概率來刻畫非可加概率下隨機(jī)變量的頻率屬性.另一個是非線性期望流派，其特征是用非可加（上，下）期望來刻畫非可加期望下隨機(jī)變量的頻率屬性.盡管這兩個流派在經(jīng)典線性概率理論下是等價的，他們在非線性框架下是完全不同的，因為一個非線性期望通常是不能被相應(yīng)的非線性概率唯一確定的（參見Chen.Z，Chen.T和Davison[7]以及Choquet，Hu，

4、Mémin和Peng[12]）.非可加概率流派成果眾多，比如早期經(jīng)典文獻(xiàn):Dow和Werlang[18]以及Walley和Fine[36]，近期著名成果例如Cooman和Miranda[15]，Epstein和Schneider[19]，Marinacci[28]，Maccheroni和Marinacci[27]，Chen和Wu[10]，Chen，Wu和Li[11]以及Terán[34].在對非可加概率的不同假設(shè)下，文獻(xiàn)證明了當(dāng)實驗次數(shù)

5、增加時，通過大量實驗得到的實驗均值不再逼近于某個確定的期望值，而是在下概率（容度）下落在某個期望值區(qū)間內(nèi).
　　在非可加期望流派，Peng是第一個提出g-期望和G-期望的學(xué)者.在g-期望的啟迪下，Peng[29，30，31]提出了次線性期望下隨機(jī)變量的獨立和同分布定義，我們稱之為Peng獨立.在某些對非可加期望的假設(shè)下，Peng通過偏微分方程(PDE)理論給出了次線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理.
　　將非可加概率和非可加

6、期望兩個學(xué)派的成果與經(jīng)典大數(shù)定律相比較，我們發(fā)現(xiàn)，在對概率和期望的公理化性質(zhì)進(jìn)行削弱的同時，我們必須對狀態(tài)空間，非可加概率，隨機(jī)變量做出額外的技術(shù)性假設(shè)作為補(bǔ)償.
　　自然地，我們想到如下問題:可否借鑒經(jīng)典可加概率(Feller，Linderberg等人)的證明方法，從概率的角度將大數(shù)定律推廣到次線性期望下呢？答案是肯定的.本文中，我們首先借鑒了經(jīng)典的Linderberg-Feller的證明思想在事件獨立下給出了Choquet期望

7、下的大數(shù)定理，然后推廣到更一般情形:卷積獨立下的次線性期望下大數(shù)定律，進(jìn)而獲得容度下的弱大數(shù)定律，并給出了一個與二者相關(guān)的等價定理.本文證明過程僅使用了泰勒展開式，次線性期望性質(zhì)等純概率基礎(chǔ)工具，未采用特征函數(shù)或PDEs等復(fù)雜輔助手段.進(jìn)一步，與文獻(xiàn)相比，我們削弱了大數(shù)定理的假設(shè)條件.比如，在次線性期望下，降低了隨機(jī)變量的階矩條件，隨機(jī)變量獨立性假設(shè)也弱化為卷積獨立.此外，我們的次線性大數(shù)定律能夠涵蓋著名的Ellsberg模型（帶有模糊

8、性的罐子模型），而Ellsberg模型因為具有概率模糊性并不符合文獻(xiàn)中大數(shù)定律的假設(shè)條件.
　　本文共分為四章.第一章研究在事件獨立定義下，Choquet期望下的大數(shù)定律.第二章研究在卷積獨立定義下，一般次線性期望下的大數(shù)定律.第三章給出次線性大數(shù)定律在模糊條件下的應(yīng)用.第四章給出了次線性大數(shù)定律的收斂誤差估計.
　　引入符號:
　　假設(shè)Ω為狀態(tài)空間，F(xiàn)為σ-域.稱函數(shù)X:Ω→R為可測空間（Ω，F(xiàn)）上隨機(jī)變量，若X是F

9、-可測的.令H為可測空間（Ω，F(xiàn)）上隨機(jī)變量全體的子集.
　　假設(shè)Cb（R）為R上所有有界連續(xù)函數(shù)的集合.C+b(R)為Cb(R)上的非負(fù)單調(diào)函數(shù)的全體.C2b(R)為Cb（R）上那些函數(shù)一階，二階導(dǎo)數(shù)都存在且導(dǎo)數(shù)仍在Cb(R)中的函數(shù)全體.對給定有限常數(shù)(μ)和(μ)，記集合Dn:={y|y=(y1，y2，…，yn)，yi∈[(μ)，(μ)]，1≤i≤n}.
　　(Ⅰ)第一章主要研究上Choquet期望下的大數(shù)定律.

10、>　　容度和Choquet期望在定義形式，基本性質(zhì)等方面與概率和線性期望具有高度相似性.可以說，Choquet理論是聯(lián)系經(jīng)典線性理論與新興次線性理論的橋梁.1999年到2005年，Maccherroni和Marinacci[27][28]提出了容度下的隨機(jī)變量獨立性定義，獨立形式與概率下的獨立定義相似.正是考慮到Choquet期望與線性期望的這種相似性，在將大數(shù)定律向非可加期望領(lǐng)域推廣時，我們優(yōu)先選擇Choquet期望作為嘗試的起點.所

11、以本文先討論Choquet這種相對簡單的情況（此時類似線性期望有較多借鑒之處），在事件獨立的假設(shè)下，給出了Choquet期望下大數(shù)定律.然后再考慮一般的次線性期望下大數(shù)定律.從簡入難.
　　回顧C(jī)hoquet期望下大數(shù)定律的理論進(jìn)展，我們發(fā)現(xiàn)在事件獨立的假設(shè)下，不同文獻(xiàn)給出了不同技術(shù)假設(shè)，但從證明方式來看，主要分為以下兩種:一種是轉(zhuǎn)化法:“曲線救國”，比如Chareka[3]將不可加的Choquet積分轉(zhuǎn)化成可加的Lebesgue

12、-Stieltjes積分.然后利用Lebesgue-Stieltjes積分性質(zhì)證明了Choquet框架下的強(qiáng)（弱）大數(shù)定律.另一種是直接證明法:比如Li和Chen[26]直接證得容度下的Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理，從而證明了Choquet期望下大數(shù)定律，證明方法類似線性LLN.由此啟發(fā)我們:在事件獨立下，可否將大數(shù)定律的其他(Linderberg，F(xiàn)eller等)經(jīng)典證法推廣到Choquet期望下證得大數(shù)

13、定律呢？我們的答案是肯定.
　　我們知道，證明大數(shù)定律的關(guān)鍵條件是概率/期望的可加性和隨機(jī)變量的階矩條件.而本章討論的Choquet期望恰為非可加期望.為了解決這個期望非可加問題，我們采用2-alternating容度，因為由2-alternating容度生成的Choquet期望具有我們所需的次可加性.在這個前提假設(shè)下，本章討論了獨立同分布隨機(jī)變量序列{Xi}∞i=11的依分布收斂（分布極限）問題.此外，對比其他Choquet結(jié)論

14、，我們的Choquet大數(shù)定律對隨機(jī)變量的階矩條件也進(jìn)行了弱化.
　　在引入大數(shù)定律前，我們先敘述三個核心引理作為鋪墊.
　　和變通項引理:
　　引理1.3.1令V為F上的2-alternating容度，且CV，CV分別為由其生成的上，下Choquet期望.令{Xi}∞i=1為（Ω，F(xiàn)）上的一列獨立隨機(jī)變量.則對任意單調(diào)函數(shù)ψ∈Cb(R)和任意常數(shù)yi∈R，I1≤CV[ψ（n∑i=1Xi）]-ψ（n∑i=1yi）≤I2

15、.其中I1:=n∑m=1infx∈R{CV[ψ(x+Xn-(m-1)-ym）]-ψ(x)}，I2:=n∑m=1supx∈R{CV[ψ（x+Xn-（m-1）-ym）]-ψ(x)}.
　　泰勒展開引理:
　　引理1.3.2令V為2-alternating容度，CV，CV分別為其生成的上，下Choquet期望.令{Xi}∞i=1為同分布隨機(jī)變量列且滿足CV[Xi]=(μ)和CV[Xi]=(μ).假設(shè)對任意i≥1，有CV[|Xi|]

16、＜∞.則對任意函數(shù)ψ∈C2b(R)，存在一個正值常數(shù)bn(∈)使得bn(∈)→0當(dāng)n→∞時，從而（Ⅰ）∑ni=1supx∈R{CV[ψ（x+Xi/n）]-ψ(x)}≤supx∈RG(ψ'(x)，(μ)，(μ))+bn(∈).（Ⅱ）∑ni=1infx∈R{CV[ψ（x+Xi/n）]-ψ(x)}≥infx∈RG(ψ'(x)，(μ),(μ))-bn(∈).其中G(x，(μ)，(μ)):=x+(μ)-x-(μ).
　　引理1.3.3令G(

17、x，y，z)函數(shù)定義同引理1.3.2,即G（x，y，z）:=x+y-x-z.則對單調(diào)的ψ∈Cb(R)，有(Ⅰ)infy∈Dnsupx∈RG(ψ'(x)，(μ)-1/n∑ni=1yi，(μ)-1/n∑ni=1yi)=0.(Ⅱ)infy∈Dninfx∈RG(ψ'(x)，(μ)-1/n∑ni=1yi，(μ)-1/n∑ni=1yi)=0.
　　經(jīng)過上述三個引理的鋪墊，我們可以引入本章第一個定理:分布極限定理.此定理表明，在Choquet期

18、望下實驗均值的分布極限是一個最大分布.
　　定理1.4.1（分布極限定理）令V為F上2-alternating容度，CV，CV分別為由其生成的上，下Choquet期望.假設(shè){Xi}∞i=1為獨立同分布隨機(jī)變量列且滿足CV[Xi]=(μ)，CV[Xi]=(μ).記部分和Sn:=∑ni=1Xi.假設(shè)對任意i≥1，CV[|Xi|]＜∞.則對任意單調(diào)函數(shù)ψ∈Cb(R)，（Ⅰ）limn→∞CV[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(

19、x);（Ⅱ）limn→∞CV[ψ（Sn/n）]=inf(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　定理1.4.2（容度下的弱大數(shù)定律）令V為F上2-alternating容度，CV，CV分別為由其生成的上，下Choquet期望.令v(A):=CV[IA]，(∨)A∈F.假設(shè){Xi}∞i=1為獨立同分布隨機(jī)變量列且滿足CV[Xi]=(μ)，CV[Xi]=(μ).記Sn:=∑ni=1Xi.假設(shè)對任意i≥1，CV[|Xi|]＜∞.若對任意ψ∈C+

20、b（R），任意(∈)＞0，則有l(wèi)imn→∞v（(μ)-(∈)≤Sn/n≤(μ)+(∈)）=1.
　　下面，我們給出一個令最大分布等價于容度下弱大數(shù)定律的充分條件.
　　定理1.4.3（等價定理）令V為F上2-alternating容度，CV，CV分別為由其生成的上，下Choquet期望.給定函數(shù)ψ∈C+b(R)，假設(shè){Xi}∞i=1為一列獨立同分布隨機(jī)變量列并滿足CV[Xi]=(μ)，CV[Xi]=(μ).假設(shè)對任意i≥1，

21、CV[|Xi|]＜∞.令SN:=∑ni=1Xi.則結(jié)論(A)與(B)等價.(A))對任意(∈)＞0，令v（A）:=CV[IA]，(∨)A∈F，有l(wèi)imn→∞v（(μ)-(∈)≤Sn/n≤(μ)+(∈)）=1.(B)對任意ψ∈Cb(R)，limn→∞CV[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　等價定理的意義在于:若收斂結(jié)論對單調(diào)ψ∈Cb（R）成立，則對任意ψ∈Cb（R）都成立.我們由分布極限定理推廣得到如下Cho

22、quet期望下大數(shù)定律.
　　定理1.4.4(Choquet期望下大數(shù)定律)令V為F上2-alternating容度，CV，CV分別為由其生成的上，下Choquet期望.假設(shè){Xi}∞i=1為獨立同分布隨機(jī)變量列且滿足CV[Xi]=(μ)，CV[Xi]=(μ).假設(shè)對任意i≥1，CV[|Xi|]＜∞.記Sn:=∑ni=1Xi.則對任意函數(shù)ψ∈Cb(R)，有l(wèi)imn→∞CV[ψ(Sn/n)]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x)..

23、r>　　注1.4.5由定理證明過程可知，隨機(jī)變量同分布條件可以削弱為:隨機(jī)變量具有有限共一階矩，即{Xi}∞i=1滿足1≤i≤n，CV[Xi]=CV[X1]，CV[Xi]=CV[X1];CV[|Xi|]=CV[|X1|],CV[|Xi|]=CV[|X1|]＜∞.
　　(Ⅱ)在第二章，我們用概率語言證得了次線性期望下的大數(shù)定律.
　　本章是經(jīng)典大數(shù)定律的自然推廣.本章有四個主要結(jié)論:(1)我們對廣義Ells-berg模型的極限

24、分布進(jìn)行了研究，并發(fā)現(xiàn)它的極限分布是一個最大分布.(2)我們將Ellsberg模型推廣，得到了一個有關(guān)隨機(jī)變量的充分條件，在這個條件下，實驗均值的極限分布與Ellsberg模型的極限分布是一致的.(3)在次線性期望的ψ-卷積獨立定義下，我們給出了最大分布等價于容度下弱大數(shù)定律的充分條件.(4)我們將本章結(jié)論與文獻(xiàn)結(jié)論進(jìn)行了對比.在線性期望下卷積獨立的啟發(fā)下，我們將卷積獨立這個概念推廣到次線性期望之下.
　　和變通項引理:
　

25、　引理2.3.1給定函數(shù)ψ∈Cb(R).假設(shè)E為次線性期望，ε為其共軛期望.令{Xi}∞i=1為E下一列ψ-卷積獨立隨機(jī)變量.則對任意常數(shù)yi∈R，1≤i≤n，有I3≤E[ψ（n∑i=1Xi）]-ψ（n∑i=1yi）≤I4，其中I3:=n∑m=1infx∈R{E[ψ（x+Xn-(m-1)-ym）]-ψ（x）}，I4:=n∑m=1supx∈R{E[ψ(x+Xn-（m-1）-ym）]-ψ（x）}.
　　如果次線性期望E是由概率測度集P

26、生成的上期望算子，即E[·]:=supQ∈PEQ[·].則上述引理有如下變形:
　　引理2.3.2令P為概率測度集，{Xi}∞i=1在每一個概率Q∈P下都是一列獨立隨機(jī)變量.則對任意常數(shù)yi∈R，i=1，2，…，n，和任意函數(shù)ψ∈Cb(R)，有I5≤E[ψ(n∑i=1Xi）]-ψ（n∑i=1yi）≤I6，其中I6:=n∑m=1supx∈R{supQ∈PEQ[ψ（x+Xn-（m-1）-ym）]-ψ(x)},I5:=supQ∈Pn∑m

27、=1infx∈R{EQ[ψ（x+Xn-（m-1）-ym）]-ψ(x)}.
　　下述泰勒展開引理是證明Choquet大數(shù)定律時的核心引理.我們將(0.1)式視為次線性期望E下的Linderberg條件.
　　引理2.3.3假設(shè)E為次線性期望，ε為其共軛期望.假設(shè)隨機(jī)變量序列{Xi}∞i=1具有有限共一階矩且E[Xi]=(μ),ε[Xi]=(μ).假設(shè)對任意(∈)＞0，有l(wèi)imn→∞1/nnΣi=1E[|Xi|I{|Xi|＞n(

28、∈)}]=0.(0.1)則對任意單調(diào)函數(shù)ψ∈C2b(R)，(Ⅰ)limn→∞infy∈Dn∑ni=1supx∈R{E[ψ（x+Xi-yi/n）]-ψ(x)}=0;(Ⅱ)limn→∞infy∈Dn∑ni=1infx∈R{E[ψ（x+Xi-yi/n）]-ψ(x)}=0;(Ⅲ)特別的，若E[·]和ε[·]為概率測度集P上的上，下期望算子且滿足E[n∑i=1Xi]=n∑i=1E[Xi]，ε[n∑i=1Xi]=n∑i=1ε[Xi]，則對任意單調(diào)函

29、數(shù)ψ∈C2b(R)，limn→∞supQ∈Pn∑i=1inf(μ)≤yi≤(μ)infx∈R{EQψ（x+Xi-yi/n）-ψ(x)}=0.
　　經(jīng)過上述引理的鋪墊，我們引出容度下/次線性期望下的大數(shù)定律.
　　定理2.4.1(Ellsberg型大數(shù)定律)給定一個概率測度集P，令(E，ε)分別為P上EQ生成的上，下期望.假設(shè)對任意Q∈P，{Xi}∞i=1是Q下一列獨立隨機(jī)變量，{Xi}ni=1具有有限共一階矩且（μ）:=E[

30、Xi]，（μ）:=ε[Xi]使得假設(shè)條件(0.1)成立.記Sn:=∑ni=1Xi.進(jìn)一步，若n∑i=1E[Xi]=E[n∑i=1Xi]，n∑i=1ε[Xi]=ε[n∑i=1Xi]，則(Ⅰ)對任意單調(diào)函數(shù)ψ∈Cb(R)，我們有l(wèi)imn→∞supQ∈PEQ[ψ（Sn/n）]=supμ≤x≤(μ)ψ(x).(Ⅱ)若對任意ψ∈C+b(R)，令V(A):=supQ∈PQ(A)，v(A):=infQ∈PQ(A)，(∨)A∈F,則對任意(∈)＞0，l

31、imn→∞v（(μ)-(∈)≤Sn/n≤(μ)+(∈)）=1.
　　定理2.4.2（次線性期望下的大數(shù)定律）假設(shè)E是一個次線性期望，ε是一個共軛期望.假設(shè)隨機(jī)變量序列{Xi}∞i=1具有有限共一階矩且E[Xi]=(μ)和ε[Xi]=μ.假設(shè)條件(0.1)成立.記部分和Sn:=∑ni=1Xi.則有
　?。á瘢┙o定單調(diào)函數(shù)ψ∈Cb(R)，若{Xi}∞i=1是E下一列ψ-卷積獨立隨機(jī)變量，則limn→∞E[ψ（Sn/n）=supμ

32、≤x≤(μ)ψ(x).
　　(Ⅱ)若對任意ψ∈Cb+（R），{Xi}∞i=1是E下一列ψ-卷積獨立隨機(jī)變量，令v(A):=ε[IA]，(∨)A∈F，則對任意(∈)＞0，limn→∞v（(μ)-(∈)≤Sn/n≤(μ)+(∈)）=1.
　　類似第一章Choquet期望的結(jié)構(gòu)，Ellsberg型大數(shù)定律（定理2.4.1）和次線性期望下大數(shù)定律（定理2.4.2）中的函數(shù)ψ都局限于Cb(R)上的單調(diào)函數(shù)，為此我們引入次線性期望下的等

33、價定理（定理2.4.3），將對單調(diào)ψ∈Cb（R）成立的定理推廣到對任意ψ∈Cb(R)成立.
　　定理2.4.3（次線性期望下的等價定理）假設(shè)E是一個次線性期望，ε是它共軛期望.對函數(shù)ψ∈C+b(R)，假設(shè){Xi}∞i=1是一列ψ-卷積獨立的隨機(jī)變量，具有有限共一階矩且E[Xi]=(μ)和ε[Xi]=(μ)使得假設(shè)條件(0.1)成立.令Sn:=∑ni=1Xi.則結(jié)論(A2)與(B2)等價.
　　(A2)對任意∈＞0，limn→

34、∞v((μ)-(∈)≤Sn/n≤(μ)+∈）=1.(B2)對任意ψ∈Cb（R），limn→∞E[ψ（Sn/n）]=supμ≤x≤(μ)ψ(x).
　　通過等價定理可知，Ellsberg型/E下的大數(shù)定律(Ⅰ)對任意ψ∈Cb(R)都成立.表述如下.
　　定理2.4.4假設(shè)條件同定理2.4.1.則對任意函數(shù)ψ∈Cb(R)，有l(wèi)imn→∞E[ψ(Sn/n)=supμ≤x≤(μ)ψ(x).
　　定理2.4.5假設(shè)條件同定理2.

35、4.2.給定任意ψ∈Cb（R），若{Xi}∞i=1是E下一列ψ-卷積獨立隨機(jī)變量，則limn→∞E[ψ(Sn/n)]=supμ≤x≤(μ)ψ(x).
　　注2.4.6若{Xi}∞i=1的階矩階數(shù)大于1，即對任意常數(shù)β＞1，E[|Xi|β]＜∞.注意到如果supi≥1E[|Xi|β]＜∞，則定理2.4.5和引理2.3.3中的假設(shè)條件(0.1)都成立.所以根據(jù)Peng[32]中引理3.9的證明，定理2.4.5的條件ψ∈Cb(R)就可以

36、弱化為:連續(xù)函數(shù)ψ滿足增長條件|ψ(x)|≤C(1+|x|β-1)，去掉有界性.
　　(Ⅲ)第三章，次線性大數(shù)定律在模糊條件下的應(yīng)用.
　　例子3.1(帶有模糊性的罐子模型)考慮有限可數(shù)個罐子，按順序?qū)⒕幪栍洖閧1，2，…}.實驗者被告知第i個罐子里有100i個小球(此后100i表示100乘以i），顏色為紅色或者黑色.第i個罐子里紅色球的個數(shù)為25i到50i個不等.實驗者不知道除此之外的任何信息.每一次只能從一個罐子里取出一

37、個小球.記Xi（wi）=｛1，若ωi=R，i.e.從第i個罐子里取出的是紅球，0，若wi=B，i.e.從第i個罐子里取出的是黑球.
　　由定理2.4.4知:當(dāng)實驗次數(shù)足夠多，n次試驗中摸到紅球的個數(shù)的實驗均值服從如下最大分布limn→∞Eψ（Sn/n）]=sup1/4≤x≤1/2ψ(x).例子3.2(期權(quán)定價模型)令{Bt}t≥0為概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的幾何布朗運動.{St}t≥0是服從幾何布朗運動的股票價格:dSt=μStd

38、t+σStdBt.在非完全市場下，歐式期權(quán)的未來損益函數(shù)為ψ（ST）:=（ST-L）+.因為上期望是eμ+σk，下期望是eμ-σk，由定理2.4.5知股價的分布極限如下limT→∞E[（ST/T-L）+]=（eμ+σk-L）+.limT→∞ε[（ST/T-L）+]=（eμ-σk-L）+.
　　(Ⅳ)第四章，主要研究次線性大數(shù)定律的收斂誤差估計.定理4.1假設(shè)E是一個次線性期望，ε是一個共軛期望.假設(shè)隨機(jī)變量序列{Xi}∞i=1具有

39、有限共一階矩，E[Xi]=（μ），ε[Xi]=（μ）.若sup1≤i≤nE[|Xi|2]＜∞.記部分和Sn:=∑ni=1Xi.則二階矩下的大數(shù)定律收斂誤差估計如下.|E[ψ（Sn/n）]-supμ≤x≤(μ)ψ(x)|≤‖ψ'‖/2n（2μE[|X1|]+sup1≤i≤nE[|Xi|2]+μ2）.其中μ:=|（μ）|∨|（μ）|.
　　當(dāng)階矩條件降低到sup1≤i≤nE[|Xi|1+a]＜∞，0＜a＜1，誤差估計相關(guān)結(jié)果見定理4.