非線性期望下極限定理的研究.pdf

1、近年來，為了解決統(tǒng)計、風險度量、數(shù)理經(jīng)濟學等領域中許多經(jīng)典概率理論難以處理的問題，各種非線性概率與非線性期望應運而生，并且得到了廣泛的研究與長足的發(fā)展。
　　為了解決統(tǒng)計力學，勢論中的問題，Choquet(1954)提出了容度和Choquet期望的概念，而后Choquet期望被廣泛運用于統(tǒng)計以及不完備市場中的資產(chǎn)定價問題。Peng(1997)提出了一個基于倒向隨機微分方程(BSDE)的非線性期望-g-期望，后來的研究表明g-期望可

2、以很好地刻畫金融中的非線性風險。Delbaen(1998)，Artzner等人(1999)首次提出了相容風險度量(Coherent Risk Measure)這一全新的非線性風險度量的概念。為了描述金融中的波動率不確定性問題，Peng(2007a)在給出了一般的次線性期望的概念之后，提出了具有方差不確定性的G-正態(tài)分布的概念，進而引入了一個典型的次線性期望-G-期望。
　　總結這些研究發(fā)現(xiàn)，這些非線性期望在運用于解決金融中的非線性

3、風險度量與不完備市場中的資產(chǎn)定價等相關問題時，他們的本質就是次線性期望。故我們可以將他們轉化為更為一般的次線性期望進行研究。
　　另外，經(jīng)典的大數(shù)定律與中心極限定理在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位。隨著容度、非線性期望的提出，關于容度與非線性期望的極限理論一直是學者們關心和研究的熱點問題，并且在金融中的非線性風險度量與資產(chǎn)定價等領域得到了廣泛的應用。
　　而經(jīng)典的極限定理的證明依賴于概率測度與期望的可加性，由于次線性期望不再

4、具有可加性，經(jīng)典的證明方法大多不再適用，這就使我們證明次線性期望下的極限定理變得更為困難。如何對前人的結果加以改進，獲得次線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理的更精確的結果，進而完善次線性期望理論體系，使其能更好地解決金融、經(jīng)濟、統(tǒng)計中的各種問題，是值得思考并具有重大意義的。
　　針對以上問題，本文主要研究了次線性期望下的大數(shù)定律及中心極限定理。本文的創(chuàng)新點如下:
　　1.得到了次線性期望下兩種形式的弱大數(shù)定律，并給出了它們之

5、間的等價關系。發(fā)現(xiàn)了隨機變量序列均值并不依概率收斂于某一確定的值，而是在下容度意義下弱收斂到下期望到上期望這一區(qū)間中，并且在上容度意義下弱收斂到這一區(qū)間中的每一個點。
　　2.研究了次線性期望與Choquet期望的大小關系，并發(fā)現(xiàn)了與經(jīng)典大數(shù)定律不同的是，在次線性期望下一階矩存在不足以保證強大數(shù)定律的成立，進而給出了控制一階矩條件下的強大數(shù)定律。
　　3.獲得了次線性期望下強大數(shù)定律成立的一個一般性矩條件，進而利用之前弱大數(shù)

6、定律的結論，得到了在這一條件下強大數(shù)定律的兩個更細致的結果，并證明了在次線性期望下這一矩條件是保證強大數(shù)定律成立的最弱矩條件。
　　4.獲得了次線性期望下一系列非獨立條件下標準化因子為更一般的{an}時的強大數(shù)定律。
　　5.給出了次線性期望下的Berry-Essen界和中心極限定理，根據(jù)正則化因子的不同能得到兩種不同形式的中心極限定理。
　　本文共分為六章，文章框架與主要結果如下:
　　(Ⅰ)第一章介紹了本文的

7、研究背景，給出了容度、次線性期望空間以及一些具體的次線性期望的概念與基本性質。
　　定義0.1.1.定義在F上的集函數(shù)V:F→[0，1]被稱為容度，若其滿足:
　　(1)V(φ)=0，V(Ω)=1;
　　(2)V(A)≤V(B),A(∩) B,A,B∈F。
　　設（Ω，F(xiàn)）是可測空間，H是其上所有隨機變量構成集合的的子集，滿足(1)H是向量格，即H是線性空間，所有的常數(shù)c∈H且X∈H(→)|X|∈H。(2)對所有

8、的A∈F，有IA∈H。
　　定義0.1.2.設E是H上的泛函，E:H→R。我們稱E是一個次線性期望，若對任意的隨機變量X，Y∈H有以下四條性質成立:
　　(1)單調性:若X≥Y，則有E[X]≥E[Y];
　　(2)保常性:E[c]=c，(V)c∈R;
　　(3)正齊性:E[λX]=λE[X]，(V)λ≥0;
　　(4)次可加性:E[X+Y]≤E[X]+E[Y]。
　　我們稱三元組（Ω，H，E）為次線性

9、期望空間。E的共軛期望ε定義為:ε[X]:=-E[-X]，(V)X∈H。由E誘導的容度V定義為:V(A):=E[IA]，(V)A∈F，其共軛容度v定義為:v(A):=1-V(Ac)，(V)A∈F。
　　(Ⅱ)第二章研究了次線性期望下的弱大數(shù)定律。
　　我們首先給出了Peng獨立性的概念，然后得出了關于獨立隨機變量序列的一階矩條件下的兩種形式的弱大數(shù)定律以及他們之間的等價關系:
　　定義0.2.1.(Peng獨立性)令X

10、=(X1，…，Xm)，Xi∈H和Y=(Y1，…，Yn)，Yi∈H是次線性期望空間（Ω，H，E）上的兩個隨機變量。我們稱Y獨立于X，若滿足對任意的檢驗函數(shù)ψ∈Cl，Lip（Rm×Rn），我們有
　　E[ψ(X,Y)]=E[E[ψ(x,Y)]|x=X].
　　定理0.2.2.給定次線性期望空間（Ω，H，E）。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[Xn]=(μ)，ε[Xn]=(μ)，對任意的n=1，2，…。記Sn:=

11、Σni=1 Xi，S0:=0。假設limn→∞ supm≥1E[|Xm|I(|Xm|＞n)]=0。則
　　(1)對任意的ε＞0有l(wèi)im n→∞ v（(μ)-ε＜Sn/n＜(μ)+ε）=1.
　　(2)對任意的h∈[(μ)，(μ)]有l(wèi)im n→∞ V（h-ε＜Sn/n＜h+ε）=1.
　　定理0.2.3.給定次線性期望空間（Ω，H，E）。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[Xn]=(μ)，ε[Xn]=(

12、μ)，對任意的n=1，2，…。記Sn:=Σni=1Xi，S0:=0。則以下兩種形式的弱大數(shù)定律等價:
　　(1)對于任意函數(shù)ψ∈Gb（R），lim n→∞E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　(2)對任意的ε＞0有l(wèi)im n→∞v（(μ)-ε＜Sn/n＜(μ)+ε）=1，
　　且對任意的h∈[(μ)，(μ)]有l(wèi)im n→∞V（h-ε＜Sn/n＜h+ε）=1.
　　定理0.2.4.給定次線

13、性期望空間（Ω，H，E）。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[Xn]=(μ)，ε[Xn]=(μ)，對任意的n=1，2，…。記Sn:=Σni=1 Xi，S0:=0。假設limn→∞supm≥1 E[|Xm|I(|Xm|＞n)]=0。則對于任意的ψ∈Cb(R)有l(wèi)im n→∞ E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　進而，我們將以上弱大數(shù)定律分別推廣到了不要求一階矩存在的情形和上下期望不相等的情形

14、。
　　定理0.2.5.給定次線性期望空間(Ω，H，E)。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[XiI(Xi|≤n）]=(μ)n，ε[XiI(|Xi|≤n）]=(μ)n，對任意的i=1，2，…，記Sn:=Σni=1 Xi，S0:=0。假設1imn→∞nsupm≥1 V(|Xm|＞n)=0。則
　　(1)對任意的ε＞0有l(wèi)im n→∞v（(μ)n-ε＜Sn/n＜(μ)n+ε）=1.
　　(2)對任意的ε＞0

15、，hn∈[(μ)n，(μ)n]有有l(wèi)im n→∞V(hn-ε＜Sn/n＜hn+ε)=1.
　　(3)若還滿足limn→∞(μ)n=(μ)，limn→∞(μ)n=(μ).則對任意函數(shù)ψ∈Cb(R)有l(wèi)im n→∞E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　定理0.2.6.給定次線性期望空間(Ω，H，E)。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[XiI(|Xi|≤n）]=(μ)n，ε[XiI(|Xi

16、|≤n)]=(μ)n，對任意的i=1，2，…，并且limn→∞(μ)n=(μ)，limn→∞(μ)n=(μ)。記Sn:=Σni=1Xi，S0:=0。則以下兩種形式的弱大數(shù)定律等價:
　　(1)對于任意函數(shù)ψ∈Cb（R），lim n→∞ E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　(2)對任意的ε＞0有l(wèi)imn→∞v（(μ)n-ε＜Sn/n＜(μ)n+ε）=1.且對任意的ε＞0，任意的hn∈[(μ)n，(μ)

17、n]滿足limn→∞hn=h時有l(wèi)im n→∞V(hn-ε＜Sn/n＜hn+ε)=1.
　　定理0.2.7.給定次線性期望空間（Ω，H，E）。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[Xn]=(μ)n，ε[Xn]=(μ)n，對任意的n=1，2，…。記Sn:=Σni=1Xi，S0:=0。假設limn→∞supm≥1E[|Xm|I(|Xm|＞n)]=0。則
　　(1)對任意的ε＞0有l(wèi)imn→∞v（1/nnΣi=1(μ

18、)i-ε＜Sn/n＜1/nnΣi=1(μ)+ε）=1.
　　(2)對任意的ε＞0，hn∈[(μ)n，(μ)n]有l(wèi)im n→∞V（1/nnΣi=1hi-ε＜Sn/n＜1/nnΣi=1hi+ε）=1.
　　(3)若還滿足limn→∞1/nnΣi=1(μ)i=(μ)，limn→∞1/nnΣi=1(μ)i=(μ).則對任意的函數(shù)ψ∈Cb(R），我們有l(wèi)im n→∞E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(x).
　　

19、定理0.2.8.給定次線性期望空間（Ω，H，E）。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足E[Xn]=(μ)n，ε[Xn]=(μ)n，對任意的n=1，2，…，并且limn→∞1/nΣni=1(μ)i=(μ)，limn→∞1/nΣni=1(μ)i=(μ)。記Sn:=Σni=1Xi，S0:=0。則以下兩種形式的弱大數(shù)定律等價:
　　(1)對任意的函數(shù)ψ∈Cb(R)，limn→∞E[ψ（Sn/n）]=sup(μ)≤x≤(μ)ψ(

20、x).
　　(2)對任意的ε＞0有l(wèi)imn→∞v(1/nnΣi=1(μ)i)-ε＜Sn/n＜1/nnΣi=1(μ)i+ε）=1.且對任意的ε＞0，任意的hn∈[(μ)n，(μ)n]滿足limn→∞1/nΣni=1hi=h時有l(wèi)im n→∞V（1/nnΣi=1hi-ε＜Sn/n＜1/nnΣi=1hi+ε）=1.
　　本章的結果均不需要隨機變量是同分布的，并且兩種形式的弱大數(shù)定律都可以被運用到第四章中強大數(shù)定律的證明中。

21、　　(Ⅲ)第三章研究了關于次線性期望一階矩條件下的強大數(shù)定律。
　　我們首先給出了polar集的定義，分析了次線性期望與Choquet期望的大小關系:
　　定義0.3.1.給定一個容度V，集合A被稱為是polar集，若滿足V(A)=0。我們稱一條性質是擬必然成立的(q.s.)，當其在一個polar集外成立。
　　定理0.3.2.給定一個次線性期望空間（Ω，H，E），V是E誘導的容度，Cv是由V生成的Choquet期望。

22、則我們有
　　(1)若Cv[|X|]＜∞成立，則有l(wèi)imn→∞E[|X|I(|X|＞n)]=0。
　　(2)若Cv[|X|]＜∞成立，則有E[|X|]≤Cv[|X|]。
　　(3)若limn→∞E[|X|I(|X|＞n)]=0成立，則有E[|X|]＜∞。
　　(4)若limn→∞E[|X|I(|X|＞n)]=0成立，則有l(wèi)imn→∞E[(|X|-n)+]=0。
　　這一結果的好處在于不需要對次線性期望附加任

23、何連續(xù)性條件，并且說明了Cv[|X|]＜∞本身就意味著次線性期望具有一定的連續(xù)性:limn→∞E[|X|I(|X|＞n)]=0。
　　進而我們由上面的定理，結合Zhang(2016a)的結果——Choquet期望一階矩條件下的強大數(shù)定律，說明了關于次線性期望的一階矩條件無法保證強大數(shù)定律的成立。
　　定理0.3.3.給定次線性期望空間(Ω，H，E)，由E誘導的容度V是從下連續(xù)的。令{Xn}∞n=1是一個獨立同分布的隨機變量序

24、列，其中E[X1]=(μ)，ε[X1]=(μ)。
　　(1)若Cv[|X1|]＜∞，則有V({lim infn→∞1/nSn＜(μ)}∪{lim sup n→∞1/nSn＞(μ)})=0.
　　(2)假設V還是從上連續(xù)的，若V(lim supn→∞|Sn|/n=∞)＜1，則有Cv[|X1|]＜∞。
　　通過此定理，我們能通過選取反例來說明，總能找到某個具體的次線性期望，使得存在一個獨立同分布隨機變量序列{Xn}∞n=1

25、滿足E[|X1|]＜∞但Cv[|X1|]=∞，從而強大數(shù)定律不成立。
　　最后我們給出了控制一階矩條件下的強大數(shù)定律。
　　定理0.3.4.給定次線性期望空間（Ω，H，E），由E誘導的容度V是從下連續(xù)的。令{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，對任意的n∈N*有E[Xn]=(μ)和ε[Xn]=(μ)。假設存在一個隨機變量X∈H滿足對任意的n∈N*有|Xn|≤|X| q.s.，并且limn→∞E[|X|I(|X|＞n)]=

26、0。令Sn=1/nΣni=1Xi。則V（{lim infn→∞1/nSn＜(μ)}∪{lim supn→∞1/nSn＞(μ)}）=0，等價地可寫為v（(μ)≤ lim infn→∞1/nSn≤lim supn→∞1/nSn≤(μ)）=1.
　　(Ⅳ)第四章獲得了能保證次線性期望下強大數(shù)定律成立的最弱矩條件。
　　我們首先給出了關于次線性期望的一個一般性矩條件下的強大數(shù)定律，說明了這一族矩條件都可以保證強大數(shù)定律的成立，并利用

27、第二章中的弱大數(shù)定律的結論獲得了在這一矩條件下強大數(shù)定律的更細致的結果，進而運用與第三章類似的方法說明了這一一般性矩條件是保證次線性下強大數(shù)定律成立的最弱矩條件。
　　定義0.4.1.令Φc（Φd）表示[0，∞）上的函數(shù)ψ(x)的集合，其中ψ(x)滿足:
　　(1)ψ(x)是非負的并且在[0，∞）上非降，對于某一x0≥0，在[x0，∞）上是正的。級數(shù)Σ∞n=[x0]+11/nψ(n)收斂（發(fā)散）。
　　(2)對任意固定

28、的a＞0，存在常數(shù)C＞0使得對任意的x≥x0有ψ（x+a）≤Cψ(x)。
　　定理0.4.2.給定一個次線性期望空間（Ω，H，E），E是從下連續(xù)的，V是其誘導的容度。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，supn≥1E[|Xn|ψ(|Xn|)]＜∞，對某一ψ∈Φc，并且E[Xn]=(μ)，ε[Xn]=(μ)對任意的n≥1。令Sn=Σni=1Xi。則V({lim inf n→∞1/nSn＜(μ)}∪{lim supn→∞1/n

29、Sn＞(μ)})=0,等價地可寫為v（(μ)≤lim infn→∞1/nSn≤lim supn→∞1/nSn≤(μ)）=1.
　　定理0.4.3.給定次線性期望空間（Ω，H，E），E是從下連續(xù)的，其誘導的容度V是連續(xù)的。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列滿足supn≥1E[|Xn|ψ(|Xn|)]＜∞，對某一ψ∈Φc，并且E[Xn]=(μ)，ε[Xn]=(μ)對任意的n≥1。令Sn=Σni=1 Xi。則
　　(1)V

30、（{lim supn→∞Sn/n=(μ)}∩{lim infn→∞Sn/n=(μ)}）=1.
　　(2)我們用C({xn})來表示R上數(shù)列{xn}的所有極限點。則對任意的b∈[(μ)，(μ)]有V(b∈C（{Sn/n}))=1.
　　另外，我們將本章的結果推廣到函數(shù)擴張形式的強大數(shù)定律，并得到了隨機變量序列的上期望與下期望不相等時的強大數(shù)定律。
　　推論0.4.4.在定理0.4.2的假設條件下，對任意R上的連續(xù)函數(shù)ψ(

31、·)，我們有
　　(1)V({lim infn→∞ψ(Sn/n)＜inf u∈[(μ)，(μ)]ψ(μ)}∪{lim supn→∞ψ（Sn/n）＞supu∈[(μ)，(μ)]ψ（μ）}）=0，等價地可寫為v(infu∈[(μ)，(μ)]ψ（μ）≤lim infn→∞ψ（Sn/n）≤lim supn→∞ψ(Sn/n)≤supu∈[(μ)，(μ)]ψ(μ))=1.若還滿足V是連續(xù)的，則
　　(2)V({lim infn→∞ψ(S

32、n/n)=inf u∈[(μ)，(μ)]ψ(μ)}∩{lim supn→∞ψ（Sn/n）=supu∈[(μ)，(μ)]ψ(μ)})=1.
　　(3)對任意的h∈[infu∈[(μ)，(μ)]ψ(μ)，supu∈[(μ)，(μ)]ψ(μ)]有V（h∈C（{ψ（Sn/n）}））=1.
　　定理0.4.5.給定一個次線性期望空間(Ω，H，E)，E是從下連續(xù)的，V是其誘導的容度。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足對某一

33、ψ∈Φc有supn≥1E[|Xn|ψ(|Xn|)]＜∞，并且E[Xn]=(μ)n，ε[Xn]=(μ)n，對任意的n≥1。令Sn=Σni=1 Xi。則
　　(1)V({lim supn→∞1/nnΣi=1(Xi-(μ)i)＞0}∪{lim inf n→∞1/nnΣi=1（Xi-(μ)i）＜0}）=0.進而V({lim infn→∞1/nSn＜lim infn→∞1/nnΣi=1(μ)i}∪{lim supn→∞1/nSn＞lim s

34、upn→∞1/nnΣi=1(μ)i}）=0.若還滿足V是連續(xù)的，則
　　(2)V({lim supn→∞1/nnΣi=1(Xi-(μ)i)=0}∩{lim infn→∞1/nnΣi=1（Xi-(μ)i）=0}）=1.
　　(3)對任意的bn∈[(μ)n，(μ)n]有V(0∈C({Sn/n-1/nnΣi=1bi})=1.作為推論，我們還獲得了次線性期望下的加權強大數(shù)定律。
　　我們記滿足Φc中的(1)、(2)兩個條件加以

35、下條件(3)所組成的函數(shù)集為Φω。
　　(3)對任意固定的a＞0，存在C＞0使得對任意的x≥x0有ψ(ax)≤C(1+ψ(x))。
　　定理0.4.6.給定一個次線性期望空間(Ω，H，E)，E是從下連續(xù)的，V是其誘導的容度。設{Xn}∞n=1是一個獨立的隨機變量序列，滿足對某一ψ∈Φω，有supn≥1 E[|Xn|ψ(|Xn|)]＜∞，并且E[Xn]=(μ)n，ε[Xn]=(μ)n，對任意的n≥1。設{ωi}∞i=1是一列一

36、致有界的正實數(shù)，記Wn=Σni=1ωi，滿足Wn=O（n）。則
　　(1)V({lim supn→∞1/WnnΣi=1ωi(Xi-(μ)i＞0}∪{liminfn→∞1/WinΣi=1ωi(Xi-(μ)i)}=0.若還滿足V是連續(xù)的，則
　　(2)V({limsupn→∞1/WnnΣi=1ωi(Xi-(μ)i)=0}∩{lim infn→∞1/WnnΣi=1ωi（Xi-(μ)i）=0}）=1.
　　(3)對任意的bn∈

37、[(μ)n，(μ)n]有V(0∈C({1/WnnΣi=1ωi(Xi-bi)})=1.
　　(Ⅴ)第五章研究了非獨立情形下的強大數(shù)定律。
　　我們給出了兩個非獨立情形標準化因子為更一般的an時的強大數(shù)定律，并且它們均可退化為獨立同分布的情況。
　　定理0.5.1.給定一個次線性期望空間（Ω，H，E），由E誘導的容度V是從下連續(xù)的。令{Xn}∞n=1是一個非負的隨機變量序列，{an}∞n=1是一個非降無界正值數(shù)列。假設an

38、/am≤n/m，對于所有充分大的n，m，E（Sn-Sm）≤C(an-am).對于所有充分大的n，m，并且對任意的p＞0有l(wèi)imsupn→∞E[exp（plogψ(n)/an（Sn-E[Sn]））]＜∞，對于某個函數(shù)ψ∈Φc，lim sup n→∞E[exp（plogψ(n)/an（ε[Sn]-Sn））]＜∞，對于某個函數(shù)ψ∈Φc，則V（{lim infn→∞Sn/an＜lim infn→∞ε[Sn]/an}∪{ lim supn→∞Sn

39、/an＞lim supn→∞E[Sn]/an}）=0，等價地可寫為v（lim infn→∞ε[Sn]/an≤ lim infn→∞Sn/an≤lim supn→∞Sn/an≤lim supn→∞E[Sn]/an）=1.
　　定理0.5.2.給定次線性期望空間（Ω，H，E），由E誘導的容度V是從下連續(xù)的。令{Xn}∞n=1是一個非負隨機變量序列。假設{an}∞n=1是一個非降無界正值數(shù)列。若E[Sn]=O(an)，且對任意的p＞0有

40、lim sup n→∞E[exp（plogψ（an)/an（Sn-E[Sn]））]＜∞，對于某個函數(shù)ψ∈Φc，lim sup n→∞E[exp(plogψ(an)/an（ε[Sn]-Sn））]＜∞，對于某個函數(shù)ψ∈Φc.則V（{lim infn→∞Sn/an＜liminfn→∞ε[Sn]/an}∪{lim supn→∞Sn/an＞lim supn→∞E[Sn]/an}）=0，等價地可寫為v（lim infn→∞ε[Sn]/an≤ lim

41、 infn→∞Sn/an≤lim supn→∞Sn/an≤lim supn→∞E[Sn]/an）=1.
　　推論0.5.3.給定次線性期望空間（Ω，H，E），由E誘導的容度V是從下連續(xù)的。令{Xn}∞n=1是一個非負的獨立同分布隨機變量序列。假設E[eX1]＜∞，則我們有V({ liminfn→∞ Sn/n＜ε[X1]}∪{ lim supn→∞Sn/n＞E[X1]}）=0,且v（ε[X1]≤lim infn→∞Sn/n≤lim

42、supn→∞Sn/n≤E[X1]）=1.另外我們得到了非獨立情形擬必然條件下的強大數(shù)定律。
　　定理0.5.4.給定次線性期望空間（Ω，H，E），由E誘導的容度V是從下連續(xù)的。令{Xn}∞n=1是一列隨機變量，{an}∞n=1是一個非降無界正值數(shù)列。假設對任意的n≥1和某一0≤α＜1，存在某一C＞0使得Sn-E[Sn]≤Can/n1-αq.s.，ε[Sn]-Sn≤Can/n1-αq.s.則V（{lim infn→∞Sn/an＜ l

43、im infn→∞ε[Sn]/an}∪{lim supn→∞Sn/an＞lim supn→∞E[Sn]/an}）=0，等價地可寫為v（lim infn→∞ε[Sn]/an≤lim infn→∞Sn/an≤lim supn→∞Sn/an≤lim supn→∞E[Sn]/an）=1.
　　(Ⅵ)第六章研究了次線性期望下非同分布情況下的中心極限定理。
　　我們在給出了G-正態(tài)分布的概念后給出了次線性期望下的關于Sn/(B)n的Be

44、rry-Essen界，進而得出Sn/(B)n、Sn/(B)n兩種正則化方式在類似Lyapunov條件下的中心極限定理，并說明了這兩種形式的中心極限定理都能退化到獨立同分布的情形。
　　定義0.6.1.(G-正態(tài)分布)給定次線性期望空間（Ω，H，E）上的-個一維隨機變量X，滿足E[X2]=(σ)2，ε[X2]=(σ)2。X被稱為是服從G-正態(tài)分布的，若滿足:aX+b-(X)d=/√a2+b2X，(V)a,b≥0.其中(X)是X的一個

45、獨立復制。記為X～N{0;[(σ)2，(σ)2]}。
　　引理0.6.2.給定次線性期望空間（Ω，H，E），{Xn}∞n=1是其上一個獨立的隨機變量序列。假設:
　　(1)E[Xn]=E[-Xn]=0，E[X2n]=(σ)2n，ε[X2n]=(σ)2n，0＜(σ)n≤(σ)n＜∞。
　　(2)ξ服從G-正態(tài)分布，滿足E[ξ2]=1與ε[ξ2]=(σ)2，0＜σ≤1，即ξ～N({0};[(σ)2，1]）。此處G(a)=1

46、/2E[aξ2]=1/2a+-1/2a-(σ)2。
　　記Sn:=Σni=1Xi，(B)2n:=Σni=1E[X2i]=Σni=1(σ)2i，則對任意的h＞0以及任意給定的ψ∈Cb，Lip(R)我們有存在某一0＜α＜1，某一常數(shù)C＞0以及某一依賴于h的常數(shù)Ch＞0使得|E[ψ（Sn/(B)n）]-E[ψ(ξ)]|≤Ch/(B)2nnΣi=1|(σ)2·(σ)2i-(σ)2i|+Ch/(B)2+αnnΣi=1E[|Xi|2+α]+C

47、（√h+√1+h-1）.
　　定理0.6.3.給定次線性期望空間（Ω，H，E），{Xn}∞n=1是其上一個獨立的隨機變量序列。假設:
　　(1) E[Xn]=E[-Xn]=0，E[X2n]=(σ)2n，ε[X2n]=(σ)2n，0＜(σ)n≤(σ)n＜∞。
　　(2)ξ服從G-正態(tài)分布，滿足E[ξ2]=1與ε[ξ2]=(σ)2，0＜(σ)≤1，即ξ～N({0};[(σ)2，1]）。此處G(a)=1/2E[aξ2]=1/

48、2a+-1/2a-(σ)2。
　　(3)以上(σ)滿足lim n→∞1/(B)2nnΣi=1|(σ)2·(σ)2i-(σ)2i|=0.
　　(4)對任意的0＜α＜1有l(wèi)imn→∞1/(B)2+αnnΣi=1E[|Xi|2+α]=0.則對任意的ψ∈Cb，Lip(R)我們有l(wèi)imn→∞ E[ψ（Sn/(B)n）]=E[ψ(ξ)].
　　定理0.6.4.給定次線性期望空間（Ω，H，E），{Xn}∞n=1是其上一個獨立的隨機變

49、量序列。假設:
　　(1)E[Xn]=E[-Xn]=0，E[X2n]=(σ)2n，ε[X2n]=(σ)2n，0＜(σ)n≤(σ)n＜∞。
　　(2)ξ服從G-正態(tài)分布，滿足E[ξ2]=(σ)2與ε[ξ2]=1，(σ)≥1，即ξ～N({0};[1，(σ)2]）。此處G（a）=1/2E[aξ2]=1/2a+(σ)2-1/2a-。
　　(3)以上(σ)滿足limn→∞1/(B)2nnΣi=1|(σ)2·(σ)2i-(σ)2i