三維空間中的直紋與平移曲面.pdf

1、1827年，高斯發(fā)表了在微分幾何的歷史上產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響的《關(guān)于曲面的一般研究》的著作，他的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ).高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué).其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴(lài)于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲線(xiàn)的長(zhǎng)度、兩條曲線(xiàn)的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測(cè)地線(xiàn)、測(cè)地曲率和總曲率等等.至此關(guān)于曲面的研究成為微分幾何的熱點(diǎn)問(wèn)題.
　　Shyuichi Izumiya從曲面上的曲線(xiàn)的

2、觀點(diǎn)出發(fā)，討論了三維歐氏空間中直紋面上的圓柱螺線(xiàn)和Bertrand曲線(xiàn).本文則從另外一個(gè)角度出發(fā)，借助于特殊曲線(xiàn)的性質(zhì)，研究了一類(lèi)特殊的直紋面—主法線(xiàn)曲面.具體討論了Mannheim曲線(xiàn)、Bertrand曲線(xiàn)以及一般螺線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面.得出以下內(nèi)容:(a)Mannheim曲線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面其測(cè)地線(xiàn)和腰曲線(xiàn)均為對(duì)應(yīng)的Mannheim侶線(xiàn)，同時(shí)又得到它的極小軌跡是Mannheim曲線(xiàn)r(s)本身或是(r)(s)=r(s)+（2λ-1/κ）β，以

3、及常高斯曲率曲線(xiàn);(b)Bertrand曲線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面的極小軌跡是Bertrand曲線(xiàn)或Bertrand侶線(xiàn)，與此同時(shí)給出了它的一族非直線(xiàn)的漸近曲線(xiàn)方程|τ|=C(1-λ/v)2和常高斯曲率曲線(xiàn);(c)一般螺線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面，當(dāng)它的撓率滿(mǎn)足τ-1=C1s+C2時(shí)，沿著該曲線(xiàn)的曲率中心軌跡的兩個(gè)主曲率函數(shù)之比為常數(shù).(d)一般曲線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面，該曲線(xiàn)是其中的一條漸近曲線(xiàn)，而沿著該曲線(xiàn)的兩個(gè)主曲率函數(shù)之比為常數(shù).
　　曲面論的研究不僅

4、僅是在歐氏空間上，在Minkowski空間中也有一定的研究.如果三維Minkowski空間中的曲面能寫(xiě)成z=f(x)+g（y）或y=f(x)+g(z)或x=f(y)+g(z)，我們就稱(chēng)之為平移曲面.平移曲面根據(jù)平移方向的不同分為以下六類(lèi):
　　(1)沿兩個(gè)類(lèi)空方向平移的平移曲面;
　　(2)沿類(lèi)空和類(lèi)時(shí)方向平移的平移曲面;
　　(3)沿兩個(gè)類(lèi)光方向平移的平移曲面;
　　(4)沿類(lèi)空和類(lèi)光方向平移的平移曲面;

5、>　　(5)沿類(lèi)光和類(lèi)時(shí)方向平移的平移曲面;
　　(6)沿兩個(gè)類(lèi)時(shí)方向平移的平移曲面.分別稱(chēng)其為一～六-型的平移曲面.劉會(huì)立已經(jīng)對(duì)一、二-型的具有常平均曲率和高斯曲率為零的平移曲面進(jìn)行了分類(lèi)，本文主要給出了三、五、六-型的Weingarten平移曲面的分類(lèi)定理.對(duì)于三-型的我們選取偽正交標(biāo)架來(lái)處理，而五、六-型的是在正交標(biāo)架下處理.在正交標(biāo)架下選擇內(nèi)積=x1y1+x2y2-x3y3，則E31中平移曲面Sa可表示為x(u，

6、v)={f（u+av）+g(v)，u，v}，
　　(ⅰ)當(dāng)|口|=1，Sa為五-型平移曲面;
　　(ⅱ)當(dāng)|a|＞1，Sa為六-型平移曲面.由此可知，這兩類(lèi)平移曲面中涉及二元函數(shù)，從而我們選取非退化的變換{y=u+av，z=v.簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，避免了解偏微分方程，最終得到其Weingarten型的分類(lèi)定理.
　　L.K.Graves在1979年給出B-scroll的定義后，學(xué)術(shù)界關(guān)于其性質(zhì)的研究一直很少，因此開(kāi)展對(duì)B-

7、scrolls的理論研究很有意義.劉會(huì)立利用錐曲線(xiàn)的理論已經(jīng)得到了B-scrolls曲面的一些特征和例子.本文主要是通過(guò)直紋面的廣義Pitch函數(shù)，給出了B-scrolls的一些新特征.H.R.Müler曾給出過(guò)非可展閉直紋面的Pitch函數(shù)的定義，本文首先將其推廣到一般的非可展直紋面上，定義了三維空間中的廣義Pitch函數(shù).隨后利用該函數(shù)以及選取三維歐氏空間和三維Minkowski空間中的特殊標(biāo)架:球Frenet標(biāo)架，de Sitte