用JACOBI-球面調(diào)和譜方法求解Fisher型方程.pdf

1、在研究某些實際問題的時候，我們往往需要考慮球形區(qū)域內(nèi)偏微分方程模型的數(shù)值求解.例如對氣象科學，海洋科學，地球物理和天體物理等領(lǐng)域中某些問題的研究，就經(jīng)常需要數(shù)值模擬流體在球形區(qū)域內(nèi)的運動．傳統(tǒng)的處理方法是采用有限差分法或有限元法.這兩種方法分別具有格式構(gòu)造靈活方便和對區(qū)域形狀的廣泛適應(yīng)性的特點．但它們也有兩個明顯的不足：其一是數(shù)值精度受到格式本身的限制，即計算的精度不能隨著解的光滑性的增強而提高；其二是往往需要近似處理邊界條件，這會增加

2、計算誤差，并可能導致數(shù)值邊界層．
　　 近幾十年來，隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，作為求解偏微分方程的三大數(shù)值方法之一的譜方法正越來越受到人們的重視.譜方法的主要優(yōu)點是具有高精度．因此研究和應(yīng)用適合于數(shù)值求解球形區(qū)域內(nèi)偏微分方程問題的譜方法很有必要．
　　 上世紀九十年代，郭本瑜教授等發(fā)展了以球面調(diào)和函數(shù)為基函數(shù)的球面正交逼近，并將球面調(diào)和譜方法成功應(yīng)用于球面上的渦度方程和流體低馬赫數(shù)流動．此后，郭本瑜等建立了一套比較完整的

3、Jacobi正交逼近理論，并提出了適合于一類奇異問題的Jacobi譜方法，為用譜方法解決球內(nèi)問題提供了可能．
　　 最近，郭本瑜和黃偉發(fā)表了有關(guān)混合Jacobi-球面調(diào)和正交逼近的基本結(jié)果，為球內(nèi)混合譜方法的展開提供了數(shù)學基礎(chǔ)．
　　 本文進一步完善相關(guān)結(jié)果，并將這種混合Jacobi-球面調(diào)和譜方法應(yīng)用于數(shù)值求解單位球內(nèi)的Fisher型方程．
　　 論文由以下幾部分組成：作為引論我們在第一章中簡要回顧有關(guān)研究工作

4、的歷史，并敘述本文的研究動機和全文的結(jié)構(gòu)．第二章介紹了文中用到的混合Jacobi-球面調(diào)和正交逼近的一些基本結(jié)果．在第三章中，我們研究單位球內(nèi)的Fisher型方程的半離散Jacobi-球面調(diào)和譜方法.在第四、第五章中我們分別研究單位球內(nèi)的Fisher型方程的一階和二階全離散Jacobi-球面調(diào)和譜方法．
　　 我們所設(shè)計的求解Fisher型方程的混合譜格式具有如下的優(yōu)點：首先，用球面坐標表示空間自變量，避免了使用Descarte

5、s坐標時對球內(nèi)邊界條件的近似處理.其次，我們在球面上采用球面調(diào)和正交逼近，而在半徑方向采用Jacobi正交逼近，從而克服了奇異性．進一步，由于球面調(diào)和函數(shù)以及Jacobi多項式的正交性，我們可以導出未知函數(shù)對應(yīng)的展開式系數(shù)所滿足的形式較簡單的方程組，這很適合并行計算．
　　 我們證明了這些格式具有廣義穩(wěn)定性和空間方向的譜精度.數(shù)值結(jié)果表明，即使在很少基函數(shù)的情況下我們的格式也能給出高精度的數(shù)值解，并與理論分析相吻合．