Littlewood-Richardson系數(shù)的組合學.pdf

1、Littlewood-Richardson系數(shù)是組合數(shù)學中的一個重要研究對象，同時也是代數(shù)以及代數(shù)幾何中的重要研究對象。在組合數(shù)學中，Littlewood—Richardson系數(shù)是斜Schur函數(shù)關(guān)于Schur函數(shù)的展開式中的系數(shù).該類系數(shù)有多種組合解釋，其中最著名的就是由Littlewood和Richardson于1934年提出的Littlewood—Richardson法則，即系數(shù)cλμν。，等于形狀為λ/μ，類型為ν，并且反閱讀

2、字為格排列的半標準楊表的個數(shù).在群表示理論中，Littlewood—Richardson系數(shù)給出了一般線性群的不可約表示ψλ在與ψμ與ψν的張量積中的重數(shù)。在代數(shù)幾何理論中，它們足兩個Schubert類乘積展開式中的系數(shù)。
　　 本篇論文的主要結(jié)果是關(guān)于Littlewood—Richardson系數(shù)的一些組合性質(zhì)及其在組合數(shù)學中的應用。首先，我們利用hive模型研究了Littlewood—Richardson系數(shù)的一些組合性質(zhì)，

3、并給出了所有單重的斜Schur函數(shù)的刻畫，即在這類斜Schur函數(shù)關(guān)于Schur函數(shù)的展開式中，所有的系數(shù)均為0或者1。然后，我們通過研究組合數(shù)學中的一個g對數(shù)凸問題給出了Littlewood—Richardson系數(shù)的一個應用.我們證明了多項式序列{∑nk=0(nk)2qk}n≥0的q對數(shù)凸性質(zhì)，其中Littlewood-Richardson系數(shù)的一個重要性質(zhì)--對偶Pieri法則在證明過程中起到了重要的作用。
　　 在第一章

4、中，我們首先給出了對稱函數(shù)，特別是Schur函數(shù)和Littlewood－Richardson系數(shù)的發(fā)展歷史和背景知識，同時也介紹了q對數(shù)凸和q對數(shù)凹的背景知識，然后給出了本篇論文將要用到的相關(guān)記號和定義。
　　 在第二章中，我們利用hive模型討論了斜Schur函數(shù)展成Schur函數(shù)的表達式中Littlewood—Richardson系數(shù)為單重的問題。Hive模型是一個可以用來研究Littlewood-Richardson系數(shù)及

5、其性質(zhì)的組合工具，它是Littlewood—Richardson法則的又一種表現(xiàn)形式.借助hive模型，我們給出了斜Schur函數(shù)關(guān)于Schur函數(shù)的展開式為單重的充分必要條件。從證明過程中我們可以看到，與傳統(tǒng)的Littlewood-Richardson法則相比，利用hive模型來討論Littlewood—Richardson系數(shù)可以使得問題的組合根源更加清晰，體現(xiàn)了hive模型在研究Littlewood-Richardson系數(shù)方面的

6、優(yōu)勢，特別是在證明本章主要定理中的必要條件時，hive模型使得證明更加直觀。同時，通過hive模型我們還能更深入地研究展開式中Littlewood—Richardson系數(shù)不滿足單重條件的一些內(nèi)在原因。
　　 在第三章中，我們利用Littlewood-Richardson系數(shù)的一些性質(zhì)證明了王毅等人提出的關(guān)于多項式序列{∑nk=0(nk)2qk}n≥0的q對數(shù)凸性質(zhì)的一個猜想，該方法給出了處理組合數(shù)學中q對數(shù)凸問題的一種新方法.

7、該類多項式是集合[n]上類型B的不交劃分的生成函數(shù)，同時也出現(xiàn)在根系格增長級數(shù)的相關(guān)理論中.對于集合[n]上類型A的不交劃分的生成函數(shù)，即Narayana多項式，陳永川等人已經(jīng)證明了它的q對數(shù)凸性質(zhì)。通過利用Schur函數(shù)理論中的Pieri法則和Jacobi-Trudi恒等式，我們將一個關(guān)于初等對稱函數(shù)乘積的和式展開成Schur函數(shù)，并證明了該展開式的Schur非負性，然后通過利用對稱函數(shù)的主特殊化證明其q對數(shù)凸性質(zhì)。同時，我們還證明了