多孔介質(zhì)滲流問題的對稱有限體積方法.pdf

1、有限體積元(FVE)作為求解偏微分方程的一種重要數(shù)值方法，能夠保持質(zhì)量、動量、能量等物理量的守恒．FVE方法(也稱為廣義差分法[10]或box method[2])利用在對偶剖分體積單元積分原始方程，并將近似解限制于某一有限元空間而得到離散方程[3-5]．因此，它在局部區(qū)域保持了原始方程的物理守恒性和其他重要特性，從而被廣泛地應(yīng)用于數(shù)值求解數(shù)學(xué)物理方程，特別是計算流體力學(xué)和熱傳導(dǎo)問題[9]． 1978年，李榮華利用有限元空間和對

2、偶單元上特征函數(shù)的推廣一局部Taylor展式的公項，將積分插值法改寫成廣義Galerkin法形式，從而將不規(guī)則網(wǎng)格差分法推廣為廣義差分法，見專著[10]．十余年來，李榮華及其同行對廣義差分法的理論和應(yīng)用作了系統(tǒng)研究．這些研究包括了對橢圓、拋物、雙曲方程構(gòu)造一次和高次元廣義差分格式，他們對所研究問題給出了最優(yōu)H<'1>模誤差估計．[17]對于重心對偶剖分，在u ∈H<'3>(Ω)假定下。得到了最優(yōu)L<'2>模誤差估計．理論研究和實際計算表

3、明，有限體積法既最大限度的保持了差分法的簡單性，又兼有有限元法的精確性．FVE方法還有其他很多性質(zhì)，參見文獻(xiàn)[2-5，11]． 然而一般情況下，由FVE形成的線性系統(tǒng)中系數(shù)矩陣卻是非對稱的，這就在實際應(yīng)用中帶來一些困難，適用于求解對稱線性系統(tǒng)的方法在此就不能應(yīng)用，因此將系數(shù)對稱化是一項非常重要的工作．[12]對橢圓問題和拋物問題提出了對稱有限體積方法。并給出最優(yōu)能量模估計．關(guān)于對稱有限體積方法的其他一些性質(zhì)參見文獻(xiàn)[13，14]

4、． 本篇論文對幾類發(fā)展型方程提出了幾種對稱有限體積方法，都得到了最優(yōu)階的誤差估計．由于有限體積法在科學(xué)研究和工程技術(shù)中有著極其重要應(yīng)用和廣泛的實用性，對有限體積法的研究和發(fā)展就具有十分重要的實際意義。本文的創(chuàng)新點(diǎn)有以下幾個方面： (1)對非線性拋物方程提出一種對稱有限體積方法。我們將系統(tǒng)的系數(shù)矩陣對稱化，因此可以應(yīng)用任何求解對稱系統(tǒng)的方法，對問題的解決帶來極大的方便。我們給出最優(yōu)階能量模誤差估計，并證明對稱有限體積方法

5、的解相對一般的有限體積方法的解是一個更高階項。 (2)對復(fù)雜的滲流耦合問題提出新算法一特征對稱有限體積方法。耦合問題包括多孔介質(zhì)不可壓縮及可壓縮混溶驅(qū)動問題，在不可壓混溶驅(qū)動問題中，我們對飽和度方程提出特征對稱有限體積方法，結(jié)合對壓力方程應(yīng)用混合元方法，并得到最優(yōu)H<'1>模和L<'2>模誤差估計。對可壓縮混溶驅(qū)動問題，我們結(jié)合應(yīng)用對稱有限體積方法和特征對稱有限體積方法，并得到最優(yōu)H<'1>模誤差估計． (3)對二維拋物

6、型積分微分方程提出一種對稱有限體積方法．由于積分微分方程在多孔介質(zhì)非局部反應(yīng)流問題、流動流體核衰變問題、帶記憶的熱傳導(dǎo)問題以及生物技術(shù)等實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，因此對此類方程的研究也有非常重要的意義．我們針對該方程建立了全離散的對稱有限體積格式，引入Ritz-Volterra投影算子，證明了格式的收斂性，并給出了L<'2>模誤差估計。 全文共分六章． 第一章是引言，第一節(jié)主要是介紹有限體積方法．在第二節(jié)中，建立對橢圓問

7、題的對稱有限體積方法，我們只需對同樣的對稱系統(tǒng)進(jìn)行一次預(yù)估和一次迭代．在第三節(jié)中，我們建立對拋物問題的對稱有限體積方法，在每一時間層，我們只需求解一次對稱系統(tǒng)． 第二章對非線性拋物方程提出了對稱有限體積方法．在第一章的一個重要的引理的基礎(chǔ)上，我們將對稱有限體積方法推廣到非線性拋物方程，在第二節(jié)建立了非線性拋物方程全離散的對稱有限體積格式．在第三節(jié)給出了本篇論文所需要的大部分輔助引理．在第四節(jié)，我們主要進(jìn)行收斂性分析，給出最優(yōu)階能

8、量模誤差估計，并證明對稱有限體積方法的解相對一般的有限體積方法的解是一個更高階項． 第三章對多孔介質(zhì)不可壓混溶驅(qū)動問題提出了特征對稱有限體積方法．多孔介質(zhì)不可壓混溶驅(qū)動問題的數(shù)值模擬對于油田的合理開發(fā)、了解地下油水流動規(guī)律是十分重要的．該問題通常由兩個非線性偏微分方程耦合而成，一個是橢圓型方程，習(xí)稱壓力方程，另一個是拋物型對流占優(yōu)的擴(kuò)散方程，習(xí)稱飽和度方程.對單獨(dú)的對流占優(yōu)的對流擴(kuò)散方程，Dollglas等[23]引入了特征線修

9、正方法，用有限差分和有限元離散.對不可壓混溶驅(qū)動這個耦合問題， Russell[24]提出對飽和度方程的特征有限元格式結(jié)合對壓力方程標(biāo)準(zhǔn)伽略金方法，Douglas和Ewing等[25，26]引入Raviart-Thomas空間，給出了對壓力方程的混合有限元方法，Ewing等[27]對飽和度方程應(yīng)用特征有限元方法，對壓力方程應(yīng)用混合元方法，并做了收斂性分析.在第二節(jié)，我們對飽和度方程提出一種特征對稱有限體積方法，結(jié)合對壓力方程應(yīng)用混合元方

10、法，在第三節(jié)給出輔助引理，在第四節(jié)進(jìn)行收斂性分析，得到最優(yōu)H<'1>模和Lo模誤差估計。 第四章對多孔介質(zhì)可壓縮混溶驅(qū)動問題提出了特征對稱有限體積方法。對可壓縮可混溶驅(qū)動問題， [37，38]提出其數(shù)學(xué)模型并研究了半離散化方法.[41，42]對此模型分別提出并分析了特征有限元方法和差分法.可壓縮情況，壓力方程和飽和度方程均是具有強(qiáng)烈非線性的拋物方程.在第二節(jié)，我們對飽和度方程提出一種特征對稱有限體積方法，結(jié)合對壓力方程應(yīng)用對稱有

11、限體積方法，在第三節(jié)給出輔助引理，在第四節(jié)進(jìn)行收斂性分析，最后得到了最優(yōu)H<'1>模誤差估計。 第五章對基于二維拋物型積分微分方程的多孔介質(zhì)非局部反應(yīng)流問題提出了一種對稱有限體積方法.我們考慮一類拋物型積分微分方程初邊值問題，此類模型在液態(tài)中反應(yīng)和污染運(yùn)移問題的研究中起著非常重要的作用，是數(shù)學(xué)、工程學(xué)以及生命科學(xué)多學(xué)科交叉研究的一個活躍領(lǐng)域.文獻(xiàn)[45，46]提供了數(shù)學(xué)模型的出處以及準(zhǔn)確的假設(shè)和分析.這類數(shù)學(xué)公式也出現(xiàn)在各種工程

12、模型中，如在多孔介質(zhì)中地下水非局部反應(yīng)運(yùn)移[47]，熱傳導(dǎo)問題，在流動流體放射性核衰變[48]，非牛頓流動流體，帶記憶的粘彈性變形材料(特殊聚合物)[49]，半導(dǎo)體建模[50]，以及生物技術(shù).所有這些模型一個非常重要的特征就是它們都表達(dá)某一物理量在任一時刻任一子域的守恒(質(zhì)量、動量、熱量等).在許多應(yīng)用中將涉及到相應(yīng)的初邊值問題的數(shù)值解，這是近似方法的最重要的特性. 此類型方程用有限元、有限差分以及配置法，已經(jīng)得到廣泛的研究[5

13、1-56].有限元方法近似地保持通量。因此在漸進(jìn)極限(也就是當(dāng)網(wǎng)格步長趨于零)下，它能得到足夠精確的計算結(jié)果，然而，在應(yīng)用相對較粗網(wǎng)格的時候則存在一些不利因素.有限體積方法的最重要的特性就是在每一個計算單元精確的保持近似通量(熱量，質(zhì)量等)守恒。由于有限體積方法有這個重要的性質(zhì)，并且有足夠的精度以及方法易于實行，這使得近來人們對其有了更新的研究興趣。對該非局部反應(yīng)流問題，在文獻(xiàn)[59]中，給出了有限體積元近似。然而一般情況下，由它形成的

14、線性系統(tǒng)中系數(shù)矩陣是非對稱的。在第二節(jié)，我們對二維拋物型積分微分方程提出了對稱有限體積方法。在第三節(jié)給出若干輔助引理。在第四節(jié)我們引入Ritz-Voltcrra投影算子，證明了格式的收斂性，并給出了L<'2>模誤差估計。第六章我們做一個彈性地基梁振動問題的數(shù)值試驗．汽車行駛在橋梁上，使橋梁產(chǎn)生振動，帶來很大隱患；隨著我國鐵路列車的提速，對鐵軌地基和周邊沿線建筑物的振動問題引起了人們的普遍注意．國際上已把振動列為七大環(huán)境公害之一，并開始著

15、手研究振動的污染規(guī)律、產(chǎn)生原因、傳播途徑和控制方法等。許多科學(xué)研究者用有限元來研究，如文獻(xiàn)[60]，從理論上對彈性地基梁振動問題進(jìn)行了基礎(chǔ)研究．文獻(xiàn)[61]用有限元方法求解此類問題，具有網(wǎng)格剖分靈活，適用區(qū)域廣泛，計算精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)．文獻(xiàn)[62]采用格林函數(shù)計算了連續(xù)地基梁上移動荷載沿軸向運(yùn)動情況下的軌道位移，但計算量大，解決高速問題有一定的局限。文獻(xiàn)[63]從工程學(xué)角度對高速列車駛過橋梁這一問題進(jìn)行了模擬試驗．我們提出了用Hermi