一些多變量函數(shù)空間的積分與逼近的易處理性.pdf

1、多變量問題的易處理性分析，是Wozniakowski教授于1994年提出的一種新型的多變量問題復雜性分析方法。特別是多變量積分與逼近問題的易處理性研究，已經(jīng)遍布于近年來的許多文章中。 在許多實際問題中，我們需要處理非常多元的函數(shù)問題，傳統(tǒng)的逼近誤差的估計，只是關于賦值數(shù)n的漸近，且變量個數(shù)d是確定的．這樣的話，當n是確定的，而d非常大時，傳統(tǒng)的估計方法將無所作為．所以近些年來，在信息復雜性分支內，對多元問題易處理性課題研究的興趣

2、越來越濃厚。易處理性是針對各種各樣的由d元函數(shù)構成的空間Fd來進行分析的。簡單地說，易處理性就是確認我們所考慮問題的復雜性是否依賴于維數(shù)d，以及怎樣依賴于d．在一些應用中，維數(shù)d甚至成千上萬，這使得應用范圍很快推廣到金融數(shù)學、統(tǒng)計學、計算物理與化學等領域。 針對易處理性研究的進展和后續(xù)課題，Wozniakowski教授于2003年提出了關于多變量積分易處理性的幾個問題。同時他作出推測，C<'∞>([0，1]<'d>)空間的多變量

3、積分問題不是易處理的(intractable)。不久后，Wojtaszczyk部分地解決了這個問題，證實了在確定框架下，C<'∞>([0，1]<'d>)空間的多變量積分問題不是強易處理的(not stronglytractable)。 本文在Wozniakowski教授和Wojtaszczyk工作的基礎上，針對逼近問題S<,d>：C<'∞>([0，1]<'d>)→L<,∞>([0，1]<'d>)的易處理性進行了一系列的研究，證實

4、了在確定框架下，使用標準信息類或線性信息類，這個逼近問題都不是強易處理的(not strongly tractable)，我們猜測這個逼近問題也不是易處理的(intractable)．同時，推導出了無窮階可微函數(shù)的L<,p>逼近，在確定框架下使用標準信息類，也不是強易處理的．作為問題的推廣，我們繼續(xù)給出了這一大類積分與逼近問題，在隨機框架下易處理性的試探性分析與猜測。 此外，從Sobolev空間與Korobov空間入手，分析了某

5、些加權空間(weightedspaces)中積分與逼近問題的(強)易處理條件，綜述近期國際前沿研究的相關進展，包括非易處理性(intractability)、QMO方法、QMC(strongly)tractable、路徑積分(path integration)的易處理性，以及標準信息類與線性信息類下，確定與隨機框架下，某些易處理性的等價性研究等方面，間斷地插入了筆者并不深入的個人認識。 論文共分為四章： 第一章預備知識，

6、主要給出確定框架(the worst case setting/deterinisitic set-ting)，平均框架(the average case setting)和隨機框架(the random/stochastic setting)下的第n個最小誤差(the nth minimal error)，和(強)易處理性的定義，以及一些必要的基本概念，如Gelfand數(shù)。 第二章主要詳細證實了無窮階可微函數(shù)逼近的非強易處理性