一些多變量函數(shù)空間的積分與逼近的易處理性.pdf

1、多變量問(wèn)題的易處理性分析，是Wozniakowski教授于1994年提出的一種新型的多變量問(wèn)題復(fù)雜性分析方法。特別是多變量積分與逼近問(wèn)題的易處理性研究，已經(jīng)遍布于近年來(lái)的許多文章中。 在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們需要處理非常多元的函數(shù)問(wèn)題，傳統(tǒng)的逼近誤差的估計(jì)，只是關(guān)于賦值數(shù)n的漸近，且變量個(gè)數(shù)d是確定的．這樣的話，當(dāng)n是確定的，而d非常大時(shí)，傳統(tǒng)的估計(jì)方法將無(wú)所作為．所以近些年來(lái)，在信息復(fù)雜性分支內(nèi)，對(duì)多元問(wèn)題易處理性課題研究的興趣

2、越來(lái)越濃厚。易處理性是針對(duì)各種各樣的由d元函數(shù)構(gòu)成的空間Fd來(lái)進(jìn)行分析的。簡(jiǎn)單地說(shuō)，易處理性就是確認(rèn)我們所考慮問(wèn)題的復(fù)雜性是否依賴于維數(shù)d，以及怎樣依賴于d．在一些應(yīng)用中，維數(shù)d甚至成千上萬(wàn)，這使得應(yīng)用范圍很快推廣到金融數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算物理與化學(xué)等領(lǐng)域。 針對(duì)易處理性研究的進(jìn)展和后續(xù)課題，Wozniakowski教授于2003年提出了關(guān)于多變量積分易處理性的幾個(gè)問(wèn)題。同時(shí)他作出推測(cè)，C<'∞>([0，1]<'d>)空間的多變量

3、積分問(wèn)題不是易處理的(intractable)。不久后，Wojtaszczyk部分地解決了這個(gè)問(wèn)題，證實(shí)了在確定框架下，C<'∞>([0，1]<'d>)空間的多變量積分問(wèn)題不是強(qiáng)易處理的(not stronglytractable)。 本文在Wozniakowski教授和Wojtaszczyk工作的基礎(chǔ)上，針對(duì)逼近問(wèn)題S<,d>：C<'∞>([0，1]<'d>)→L<,∞>([0，1]<'d>)的易處理性進(jìn)行了一系列的研究，證實(shí)

4、了在確定框架下，使用標(biāo)準(zhǔn)信息類或線性信息類，這個(gè)逼近問(wèn)題都不是強(qiáng)易處理的(not strongly tractable)，我們猜測(cè)這個(gè)逼近問(wèn)題也不是易處理的(intractable)．同時(shí)，推導(dǎo)出了無(wú)窮階可微函數(shù)的L<,p>逼近，在確定框架下使用標(biāo)準(zhǔn)信息類，也不是強(qiáng)易處理的．作為問(wèn)題的推廣，我們繼續(xù)給出了這一大類積分與逼近問(wèn)題，在隨機(jī)框架下易處理性的試探性分析與猜測(cè)。 此外，從Sobolev空間與Korobov空間入手，分析了某

5、些加權(quán)空間(weightedspaces)中積分與逼近問(wèn)題的(強(qiáng))易處理?xiàng)l件，綜述近期國(guó)際前沿研究的相關(guān)進(jìn)展，包括非易處理性(intractability)、QMO方法、QMC(strongly)tractable、路徑積分(path integration)的易處理性，以及標(biāo)準(zhǔn)信息類與線性信息類下，確定與隨機(jī)框架下，某些易處理性的等價(jià)性研究等方面，間斷地插入了筆者并不深入的個(gè)人認(rèn)識(shí)。 論文共分為四章： 第一章預(yù)備知識(shí)，

6、主要給出確定框架(the worst case setting/deterinisitic set-ting)，平均框架(the average case setting)和隨機(jī)框架(the random/stochastic setting)下的第n個(gè)最小誤差(the nth minimal error)，和(強(qiáng))易處理性的定義，以及一些必要的基本概念，如Gelfand數(shù)。 第二章主要詳細(xì)證實(shí)了無(wú)窮階可微函數(shù)逼近的非強(qiáng)易處理性