乘積流形中子流形的整體性質(zhì)研究.pdf

1、本論文探討乘積流形中的子流形的若干整體性質(zhì),并給出了應(yīng)用.它由兩部分構(gòu)成.在第一部分(即第三章)里,我們探討了H2×R中給定平均曲率曲面的Weierstrass表示,得到定理1([37])設(shè)x=(x1,x2,x3):∑→H2×R是等距浸入,G1:∑→+U1(其中U1如(3.5)中定義)是法高斯映照.則在U1上有定理2([37])設(shè)∑是單連通的黎曼曲面,H:∑→R是C1函數(shù),且G1:∑→U1(其中U1如(3.5)中定義)是光滑映照,假設(shè)G

2、1,H滿足方程(3.27).令則x=(x1,x2,x3)是具有分枝點的曲面它的平均曲率為H,法高斯映照為G1.而且若G1z≠0,則x是正則曲面.
　　在第二部分(即第四章和第五章),我們將分別給出在k-Ricci曲率具有強二次衰減的完備黎曼流形中的平均曲率可控的完備逆緊浸入子流形和在某些乘積流形中的平均曲率可控的完備逆緊浸入子流形上的Omori-Yau極值原理.我們也得到平均曲率有界的完備平均曲率流上的極值原理.利用廣義極值原理我

3、們得到某些乘積流形N1×N2中的在N1上的投影有界的逆緊浸入子流形的平均曲率的估計:
　　定理3([38])設(shè)N1,N2分別為n1,n2維完備黎曼流形且N2的徑身截面曲率滿足,kradN2≥-c(1+p22log2(p2+2)),其中c是正常數(shù),p2是N2上到固定點的距離函數(shù).設(shè)φ:Mk→N1×N2是k(k>n2)維完各黎曼流形到N1×N2的等距浸入其平均曲率向量為(H→).給定g∈M,p=π1(ψ(q))∈N1.設(shè)BN1(r)是

4、N1中以p為心,以r為半徑的測地球.假設(shè)沿N1中的扶p出發(fā)的徑向測地線的徑向截面曲率kradN1滿足kradN1≤b(const.)且ψ(M)　　(1)若ψ:Mk→N1×N2是逆緊的,則supM|H|≥(k-n2)Cb(r).
　　(2)若supM|H|<(k-n2)Cb(r).
　　則M是隨機不完備的.其中Cb在第