負pinched流形中子流形的整體pinching定理.pdf

1、最近，Lp-pinching問題已經(jīng)成為研究微分幾何的一個重要的新課題，它主要研究流形在Lp-pinching條件下的幾何結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu). J.Simons，H.B.Lawson，S.S.Chern，M.doCarmo，O.S.Kobayashi曾證明了下述著名剛性定理： 設(shè)Mn為n+p維單位球面Sn+p(1)中的n維可定向的緊致極小子流形，S為Mn的第二基本形式模長的平方.若S≤n/2-1/p，則S≡0，即Mn是全測地

2、子流形；或S≡n/2-1/p.且滿足S≡n/2-1/p的n維極小子流形只有下面兩種： 1.S4(1)中Veronese曲面，這時n=p=2. 2.Sn+1(1)中Clifford超曲面. 之后，文獻[4]，[9]，[14]等改進和發(fā)展了上述結(jié)果.當(dāng)外圍空間為雙曲空間時，Xu-Xiang-Gu得到下述結(jié)果： 設(shè)Mn是雙曲空間Hn+p(-1)中完備的平行平均曲率子流形，H和S分別為Mn的平均曲率和第二基本形式

3、模長的平方.若S≤C(n，p，H)，且supMS＜α(n，H)，這里H＞1，則M是全臍球面Sn(1/√H2-1).pinching常數(shù)為：C(n,p,H)={α(n,H),若n≥3或p≤2,1/3(10H2-4),若n=2且p≥3.α(n,H)=-n+n3/2(n-1)H2-n(n-2)/2(n-1)√n2H4-4(n-1)H2.H.W.Xu，J.R.Gu和M.Y.He研究了曲率為-1的雙曲空間Hn+p(-1)中完備平行平均曲率子流形的

4、Ln/2-pinching問題，獲的以下結(jié)果： 設(shè)Mn為n+p維雙曲空間Hn+p(-1)中n維完備的平行平均曲率子流形.H和S分別為Mn的平均曲率和第二基本形式模長的平方，H＞1.如果∫M(S-nH2)n/2＜C(n，H)，C(n，H)是一個與n，H有關(guān)的正常數(shù)，那么S≡nH2.即M為全臍球面Sn(1/√H2-1). 本文將上述定理中的外圍空間Hn+p(-1)推廣為負pinched黎曼流形，證明了下述定理 定理.

5、設(shè)Mn(n≥3)為n+p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n維緊致可定向的平行平均曲率子流形，H和S分別為Mn的平均曲率和第二基本形式模長的平方，且H＞1.Nn+p的截曲率滿足-1≤KN≤δ0(n，p，H).設(shè)(H)是復(fù)合等距浸入Mn→Nn+p→Rl的相對平均曲率，且滿足(H)≤H0.若‖S-nH2‖n/2≤C(n,p,δ,H,H0),‖S-nH2‖n/n-2≥(1+δ)α(n,p)vol(M),則Nn+p整體等距于Hn+p(-1)，且Mn

6、為n維全臍球面Sn(1/√H2-1).這里δ：=supKN，vol(M)是流形M的體積，δ0(n,p,H)為與n，p，H有關(guān)的非正的常數(shù)，α(n，p)為與n，p有關(guān)的正常數(shù)，C(n，p，δ，H，H0)為與n，p，δ，H，H0有關(guān)且具體給定的正常數(shù). 特別地，當(dāng)δ=-1時，立即得到下述推論.設(shè)Mn(n≥3)為Hn+p(-1)中n維緊致可定向的平行平均曲率子流形.若∫M(S-nH2)n/2＜C(n)，這里C(n)是一個僅與n有關(guān)的正