子流形上幾何、分析與拓?fù)涞娜舾蓡?wèn)題研究.pdf

1、本文主要研究子流形上幾何、分析與拓?fù)涞娜舾蓡?wèn)題，獲得了局部共形平坦黎曼流形的整體剛性定理，球面中Clifford超曲面的幾何特征，四維雙曲空間中某些超曲面的分類(lèi)，黎曼子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ砗臀⒎智蛎娑ɡ硪约霸谇史e分拼擠條件下平均曲率流解的收斂性定理和關(guān)于時(shí)間的可延拓性定理等結(jié)果．
　　 本文第二章研究了局部共形平坦黎曼流形的幾何剛性．M．Tani[T]證明了具有正Ricci曲率和常數(shù)量曲率的緊致可定向局部共形平坦流形的萬(wàn)有覆蓋空

2、間等距于球面．成慶明，S．Ishikawa和K．Shiohama[CIS]給出了數(shù)量曲率和Ricci曲率模長(zhǎng)都是正常數(shù)的3維完備的局部共形平坦流形的分類(lèi)．最近，S．Pigola，M．Rigoli和A．G．Setti[PRS]在逐點(diǎn)的Ricci曲率拼擠條件下得到了空間形式的幾何特征，并證明了當(dāng)數(shù)量曲率為零時(shí)局部共形平坦黎曼流形的Ln/2拼擠定理．在第二章中，我們證明了當(dāng)數(shù)量曲率為常數(shù)時(shí)局部共形平坦流形的Lp拼擠定理，改進(jìn)和發(fā)展了S．Pig

3、ola，M．Rigoli和A．G．Setti得到的Ln/2拼擠定理，并將有關(guān)結(jié)果推廣到數(shù)量曲率為非零常數(shù)的情形．
　　 第三章刻畫(huà)了球面中Clifford超曲面的幾何特征．J．Simons[Si]，H．Law—son[La]，陳省身，M．do Carmo和S．Kobayashi[CDK]證明了球面中閉極小子流形的剛性定理．據(jù)此，陳省身先生提出了關(guān)于常數(shù)量曲率極小超曲面的陳氏猜想．彭家貴，滕楚蓮[PT1]，S．P．Chang[Ch

4、a1]，楊洪蒼，成慶明[YC1][YC2]，Y．J．Suh，H．Y．Yang[SY]等先后研究了陳氏猜想．彭家貴和滕楚蓮[PT2]進(jìn)一步證明了關(guān)于球面中n維(n≤5)極小超曲面數(shù)量曲率的第二拼擠區(qū)間的存在性定理．最近，魏嗣明和許洪偉[WX]將彭家貴和滕楚蓮[PT2]的結(jié)果推廣到維數(shù)n=6，7的情形．在第三章中，我們研究了球面中一類(lèi)閉的常平均曲率超曲面數(shù)量曲率的第二拼擠區(qū)間存在性問(wèn)題，推廣了彭家貴、滕楚蓮、魏嗣明和許洪偉的數(shù)量曲率第二拼擠

5、區(qū)間的存在性定理．
　　 第四章給出了4維雙曲空間中超曲面的幾何分類(lèi)．彭家貴和滕楚蓮[PT1][PT2]曾研究了4維單位球面中閉極小超曲面的幾何．SAlmeida，F(xiàn)．Brito，L．Sousa[AB][ABS]，J．Ramanathan[Ra]等給出了4維單位球面中常Gauss—Kronecker曲率閉超曲面的幾何分類(lèi)．T．Hasanis，A．Savas—Halilaj，T．Vlachos[HSV1][HSV2]和成慶明[CH

6、2]等研究了4維歐氏空間和雙曲空間中完備極小超曲面的分類(lèi)問(wèn)題．在第四章中，我們給出了4維雙曲空間中一類(lèi)具有常quasi—Gauss—Kronecker曲率和常平均曲率的完備超曲面的幾何分類(lèi)，推廣了T．Hasanis，A．Savas—Halilaj，T．Vlachos和成慶明等人的結(jié)果．
　　 第五章證明了子流形拓?fù)淝蛎娑ɡ砗臀⒎智蛎娑ɡ恚\(yùn)用球面中緊致子流形上穩(wěn)定流的不存在性和廣義Poincaré猜想，H．Lawson和J．Si

7、mons[LS]證明了子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ恚甂．Shiohama和許洪偉[SX3]證明的拓?fù)淝蛎娑ɡ硗茝V和改進(jìn)了H．Lawson和J．Simons的結(jié)果．最近，付海平和許洪偉[FX]將拓?fù)淝蛎娑ɡ硗茝V到外圍空間為雙曲空間形式的情形．通過(guò)研究平均曲率流，G．Huisken[Hu1][Hu2][Hu3]得到了超曲面的微分球面定理．在第五章中，通過(guò)研究子流形的迷向曲率，我們證明了一般黎曼流形中子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ?，將常曲率空間形式中子流形的拓

8、撲球面定理推廣到外圍空間為一般黎曼流形的情形．運(yùn)用Brendle—Schoen的Ricci流技巧，我們首次證明了曲率拼擠條件下子流形的微分球面定理．我們得到的部分球面定理的拼擠條件是最佳的．
　　 第六章研究了歐氏空間中閉超曲面的平均曲率流．G．Huisken[Hu1]曾證明歐氏空間中的凸超曲面必在有限時(shí)間內(nèi)沿平均曲流方向收縮到一點(diǎn)，并獲得了超曲面平均曲率流關(guān)于時(shí)間延拓的一個(gè)充分條件．最近，N．Sesum[Se]和B．Wang[