子流形上整體幾何與幾何分析的若干問題研究.pdf

1、本文著重研究黎曼子流形上整體幾何與幾何分析的若干問題，主要內(nèi)容包括子流形的同調(diào)群消沒定理、拓?fù)淝蛎娑ɡ怼<'2>調(diào)和1-形式、端的有限性和Laplace算子譜等問題. 1973年，H.B.Lawson和J.Simons運(yùn)用Federer-Fleming存在性定理[19]和幾何測度論中變分技巧證明了單位球面中緊致黎曼子流形上穩(wěn)定積分流的不存在性定理和同調(diào)群消沒定理[30].1984年，忻元龍將Lawson-Simons穩(wěn)定積分流

2、的不存在性定理和同調(diào)群消沒定理拓廣到了歐氏空間中緊致子流形的情形，并給出了若干重要的應(yīng)用[47].1997年，K.Shiohama和許洪偉運(yùn)用關(guān)于穩(wěn)定積分流不存在性的Lawson-Simons-Xin定理證明了完備單連通的非負(fù)常曲率空間型中完備子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ韀43].本文進(jìn)一步將Lawson-Simons-Xin同調(diào)群消沒定理拓廣到雙曲空間中緊致子流形的情形，并運(yùn)用這一新的同調(diào)群消沒定理證明了雙曲空間中完備子流形的拓?fù)淝蛎娑ɡ?，?/p>

3、而推廣了Shiohama-Xu的拓?fù)淝蛎娑ɡ? 著名的Berstein定理說：R<'n+1>(n≤7)中完備極小圖M<'n>必為n維超平面.許多幾何學(xué)家曾試圖把Berstein定理推廣到完備穩(wěn)定極小超曲面的情形。Cao-Shen-zhu運(yùn)用Schoen-Yau的結(jié)果[40]證明了歐氏空間R<'n+1>中n(n≥3)維完備穩(wěn)定極小超曲面M<'n>僅有一個端[5].李偉光和王嘉平進(jìn)一步證明了歐氏空間中完備極小子流形M<'n>(n≥3

4、)的每個端都是非拋物的.他們還進(jìn)一步證明：若M具有有限指標(biāo)，則M上L<'2>調(diào)和1-形式空間的維數(shù)是有限的，且M僅有有限個端(本文證明了R<'n+p>卻中滿足∫<,M>|B|調(diào)和1-形式，且M僅有一個端.本文進(jìn)一步將該結(jié)果推廣到外圍空間為具非零常曲率的完備單連通空間型的情形.本文還證明：若具常曲率c的完備單連通空間型F<'n+p>?中具有有限全曲率的n維完備非緊可

5、定向子流形M滿足下面條件之一：(i)n≥3，c=0且∫<,M>H<'n><∞；(ii)n≥5，c=-1且H<1-2/<平方根n>；(iii)n≥ 3，c=1且H有界的，則M上L<'2>調(diào)和1-形式空間的維數(shù)是有限的，這里H為M的平均曲率.更一步，在條件(i)或(ii)下，M僅有有限個端.本文還獲得了偽歐氏空間R<'n+p><,p>中完備非緊的類空子流形具有有限個端的充分條件. 最近，Cheng-Cheung-Zhou研究了一般黎

6、曼流形中完備非緊的弱穩(wěn)定常平均曲率超曲面的整體性質(zhì)，并證明了常曲率空間型中完備非緊的弱穩(wěn)定常平均曲率超曲面僅有一個端[14].設(shè)M<'n>為第(n-1)個Ricci曲率非負(fù)的(n+1)維黎曼流形N<'n+1>中完備非緊的弱穩(wěn)定常平均曲率超曲面，本文證明了這類超曲面上有界調(diào)和函數(shù)的一個不存在性定理，由此證得M僅有一個端.此外，本文進(jìn)一步將該結(jié)果推廣到外圍空間為雙曲空間的情形. 黎曼流形上Laplace算子的譜是流形上重要的解析不變